Номер 7.6, страница 72 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.6. а) В ромбе $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Через вершину $C$ и середину отрезка $OD$ проведена прямая, пересекающая сторону $AD$ ромба в точке $K$. Найдите длину отрезка $AK$, если периметр ромба равен 60 см.

б) В ромбе $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Через вершину $B$ и середину отрезка $AO$ проведена прямая, пересекающая сторону $AD$ ромба в точке $K$. Найдите периметр ромба, если длина отрезка $AK$ равна 4 см.

а)

Пусть $ABCD$ — ромб, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По свойствам ромба, все его стороны равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам. Периметр ромба равен 60 см, следовательно, длина его стороны $AD = P/4 = 60/4 = 15$ см.

Пусть $M$ — середина отрезка $OD$. Прямая, проведенная через вершину $C$ и точку $M$, пересекает сторону $AD$ в точке $K$. Нам нужно найти длину отрезка $AK$.

Для решения задачи применим метод вспомогательных построений. Проведем через точку $O$ прямую $OL$, параллельную прямой $CK$, где точка $L$ лежит на стороне $AD$.

1. Рассмотрим треугольник $ACK$. Точка $O$ является серединой стороны $AC$. Прямая $OL$ параллельна стороне $CK$ по построению. По теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника), прямая $OL$ пересекает сторону $AK$ в ее середине, то есть точка $L$ — середина отрезка $AK$. Отсюда следует, что $AL = LK$.

2. Теперь рассмотрим лучи $DA$ и $DO$, которые пересечены параллельными прямыми $MK$ и $OL$ (прямая $MK$ является частью прямой $CK$, которая параллельна $OL$). По обобщенной теореме Фалеса, отрезки, отсекаемые на этих лучах, пропорциональны: $$ \frac{DK}{KL} = \frac{DM}{MO} $$

По условию, точка $M$ — середина отрезка $OD$, значит $DM = MO$. Следовательно, отношение $DM/MO = 1$. Тогда $DK/KL = 1$, что означает $DK = KL$.

3. Объединяя полученные результаты, имеем $AL = LK$ и $KL = DK$. Таким образом, $AL = LK = DK$. Это означает, что отрезок $AD$ разделен точками $L$ и $K$ на три равные части. Длина стороны $AD$ равна сумме длин этих частей: $AD = AL + LK + DK = 3 \times DK$. Длина отрезка $AK = AL + LK = 2 \times DK$. Следовательно, отношение длин отрезков $AK$ и $AD$ равно $AK/AD = (2 \times DK) / (3 \times DK) = 2/3$.

Зная длину стороны $AD$, находим длину отрезка $AK$: $$ AK = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \times 15 = 10 \text{ см} $$

Ответ: 10 см.

б)

Пусть $ABCD$ — ромб, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Пусть $N$ — середина отрезка $AO$. Прямая, проведенная через вершину $B$ и точку $N$, пересекает сторону $AD$ в точке $K$. По условию, длина отрезка $AK = 4$ см. Нам нужно найти периметр ромба.

Воспользуемся аналогичным подходом, что и в пункте а). Проведем через точку $O$ прямую $OL$, параллельную прямой $BK$, где точка $L$ лежит на стороне $AD$.

1. Рассмотрим треугольник $BDK$. Точка $O$ является серединой стороны $BD$. Прямая $OL$ параллельна стороне $BK$ по построению. По теореме Фалеса, прямая $OL$ пересекает сторону $DK$ в ее середине, то есть точка $L$ — середина отрезка $DK$. Отсюда следует, что $DL = LK$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $AOL$. Точка $N$ является серединой стороны $AO$. Прямая $NK$ (часть прямой $BK$) параллельна стороне $OL$ по построению. По теореме Фалеса, прямая $NK$ пересекает сторону $AL$ в ее середине, то есть точка $K$ — середина отрезка $AL$. Отсюда следует, что $AK = KL$.

3. Объединяя полученные результаты, имеем $AK = KL$ и $KL = DL$. Таким образом, $AK = KL = DL$. Это означает, что отрезок $AD$ разделен точками $K$ и $L$ на три равные части. Длина стороны $AD$ равна сумме длин этих частей: $$ AD = AK + KL + DL = AK + AK + AK = 3 \times AK $$

По условию $AK = 4$ см, значит, длина стороны ромба $AD$ равна: $$ AD = 3 \times 4 = 12 \text{ см} $$

Периметр ромба равен $P = 4 \times AD$. $$ P = 4 \times 12 = 48 \text{ см} $$

Ответ: 48 см.