Номер 6.6, страница 70 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.6. a) На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ построены квадраты $ANMC$ и $BKLC$. Найдите величину угла между прямыми $MB$ и $AL$.

б) На сторонах квадрата $ABCD$ построены равносторонние треугольники $ALD$ и $BKC$. Найдите величину угла между прямыми $LB$ и $AK$.

а)

Рассмотрим поворот плоскости вокруг точки $C$ на угол $90^\circ$ по часовой стрелке. Пусть $R_C^{-90^\circ}$ — это преобразование поворота.

1. Построим равносторонний треугольник $ABC$. Все его углы равны $60^\circ$, а стороны равны. Обозначим длину стороны $a$, то есть $AB = BC = CA = a$.

2. На стороне $AC$ построен квадрат $ANMC$. Это значит, что $AC = CM = a$ и угол $\angle ACM = 90^\circ$. При повороте $R_C^{-90^\circ}$ точка $M$ переходит в точку $A$, так как отрезок $CM$ поворачивается на $-90^\circ$ и совмещается с отрезком $CA$.

3. На стороне $BC$ построен квадрат $BKLC$. Это значит, что $BC = CL = a$ и угол $\angle BCL = 90^\circ$. При повороте $R_C^{-90^\circ}$ точка $B$ переходит в точку $L$, так как отрезок $CB$ поворачивается на $-90^\circ$ и совмещается с отрезком $CL$.

4. Поскольку при повороте $R_C^{-90^\circ}$ точка $M$ переходит в $A$, а точка $B$ переходит в $L$, то отрезок $MB$ переходит в отрезок $AL$. Прямая $MB$ переходит в прямую $AL$.

5. Угол между прямой и ее образом при повороте на угол $\alpha$ равен $|\alpha|$. В нашем случае угол поворота равен $90^\circ$. Следовательно, угол между прямыми $MB$ и $AL$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б)

Будем считать, что равносторонние треугольники построены на сторонах квадрата во внешнюю сторону (стандартное допущение для таких задач).

1. Дан квадрат $ABCD$. Обозначим его сторону за $a$. Все углы квадрата равны $90^\circ$.

2. На стороне $AD$ построен равносторонний треугольник $ALD$. Значит, $AL = AD = a$ и $\angle LAD = 60^\circ$.

3. На стороне $BC$ построен равносторонний треугольник $BKC$. Значит, $BK = BC = a$ и $\angle KBC = 60^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $LAB$. В нем стороны $AL=a$ и $AB=a$. Следовательно, $\triangle LAB$ — равнобедренный. Угол при вершине $\angle LAB$ равен сумме углов $\angle LAD$ и $\angle DAB$:

$\angle LAB = \angle LAD + \angle DAB = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ$.

Углы при основании равнобедренного треугольника $LAB$ равны:

$\angle LBA = \angle ALB = (180^\circ - 150^\circ) / 2 = 15^\circ$.

5. Рассмотрим треугольник $KAB$. В нем стороны $KB=a$ и $AB=a$. Следовательно, $\triangle KAB$ — равнобедренный. Угол при вершине $\angle KBA$ равен сумме углов $\angle KBC$ и $\angle CBA$:

$\angle KBA = \angle KBC + \angle CBA = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ$.

Углы при основании равнобедренного треугольника $KAB$ равны:

$\angle KAB = \angle AKB = (180^\circ - 150^\circ) / 2 = 15^\circ$.

6. Теперь найдем угол между прямыми $LB$ и $AK$. Пусть $O$ — точка их пересечения. Рассмотрим треугольник $AOB$. В этом треугольнике нам известны два угла:

$\angle OAB = \angle KAB = 15^\circ$.

$\angle OBA = \angle LBA = 15^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle AOB$ равен:

$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

7. Угол между двумя пересекающимися прямыми — это наименьший из двух смежных углов, образованных при их пересечении. Один угол равен $150^\circ$, а смежный с ним равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Наименьший из них — $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.