Номер 5.8, страница 69 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.8. a) В параллелограмме $ABCD$ $\angle ACB = 75^\circ$, $\angle ACD = 75^\circ$. Найдите высоту параллелограмма, если его периметр равен 80 см.

б) В параллелограмме $ABCD$ $\angle BAC = 75^\circ$, $\angle DAC = 75^\circ$. Найдите периметр параллелограмма, если его высота равна 6 см.

а) В параллелограмме $ABCD$ по условию даны углы $\angle ACB = 75^\circ$ и $\angle ACD = 75^\circ$. Угол $C$ параллелограмма является суммой этих двух углов: $\angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = 75^\circ + 75^\circ = 150^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$, поэтому угол $D$ равен $\angle ADC = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Зная два угла $\angle ADC = 30^\circ$ и $\angle ACD = 75^\circ$, найдем третий угол $\angle CAD$: $\angle CAD = 180^\circ - (\angle ADC + \angle ACD) = 180^\circ - (30^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$. В треугольнике $ADC$ углы при основании $AC$ равны ($\angle CAD = \angle ACD = 75^\circ$), следовательно, треугольник $ADC$ равнобедренный, и стороны $AD$ и $CD$ равны. Так как в параллелограмме $ABCD$ смежные стороны равны ($AD = CD$), то все его стороны равны, и этот параллелограмм является ромбом. Периметр ромба равен $P = 4a$, где $a$ — длина стороны. По условию $P = 80$ см, значит, сторона ромба $a = \frac{80}{4} = 20$ см. Высоту ромба $h$ можно найти через его сторону и угол. Возьмем острый угол ромба $\alpha = 30^\circ$. Высота вычисляется по формуле $h = a \cdot \sin(\alpha)$. Подставим наши значения: $h = 20 \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ см.
Ответ: 10 см.

б) В параллелограмме $ABCD$ по условию даны углы $\angle BAC = 75^\circ$ и $\angle DAC = 75^\circ$. Угол $A$ параллелограмма является суммой этих двух углов: $\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 75^\circ + 75^\circ = 150^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$, поэтому угол $B$ равен $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. В параллелограмме противоположные стороны параллельны ($BC \parallel AD$), а диагональ $AC$ является секущей. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, следовательно, $\angle BCA = \angle DAC = 75^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $\angle BAC = 75^\circ$ (по условию) и $\angle BCA = 75^\circ$. Так как два угла в треугольнике равны, он является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны $AB$ и $BC$ равны. Поскольку в параллелограмме $ABCD$ смежные стороны равны ($AB = BC$), то все его стороны равны, и этот параллелограмм является ромбом. Пусть сторона ромба равна $a$. Высота ромба $h$ связана со стороной и углом формулой $h = a \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — острый угол ромба. В нашем случае $h = 6$ см и $\alpha = 30^\circ$. Подставим значения в формулу: $6 = a \cdot \sin(30^\circ)$, то есть $6 = a \cdot \frac{1}{2}$. Отсюда находим сторону ромба: $a = 6 \cdot 2 = 12$ см. Периметр ромба равен $P = 4a = 4 \cdot 12 = 48$ см.
Ответ: 48 см.