Номер 5.4, страница 68 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

5.4. a) Один из углов ромба равен $150^\circ$, высота равна 7 см. Найдите периметр ромба.

б) Один из углов ромба равен $30^\circ$, периметр равен 24 см. Найдите высоту ромба.

а)

Пусть сторона ромба равна $a$, а его высота — $h$. Один из углов ромба равен $150^\circ$. Поскольку сумма смежных углов ромба равна $180^\circ$, другой угол ромба будет равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, образует с боковой стороной прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является сторона ромба $a$, одним из катетов — высота $h$, а противолежащий высоте угол — это острый угол ромба, равный $30^\circ$.
Связь между стороной ромба, его высотой и углом выражается формулой:
$h = a \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — острый угол ромба.
Подставим известные значения: $h = 7$ см и $\alpha = 30^\circ$.
$7 = a \cdot \sin(30^\circ)$
Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
$7 = a \cdot \frac{1}{2}$
Отсюда находим сторону ромба $a$:
$a = 7 \cdot 2 = 14$ см.
Периметр ромба $P$ равен сумме длин всех его четырех равных сторон:
$P = 4a = 4 \cdot 14 = 56$ см.
Ответ: 56 см.

б)

Периметр ромба равен 24 см. Так как у ромба все стороны равны, мы можем найти длину одной стороны $a$:
$a = \frac{P}{4} = \frac{24}{4} = 6$ см.
Один из углов ромба равен $30^\circ$. Это острый угол $\alpha$.
Высоту ромба $h$ можно найти по формуле:
$h = a \cdot \sin(\alpha)$
Подставим известные значения: $a = 6$ см и $\alpha = 30^\circ$.
$h = 6 \cdot \sin(30^\circ)$
Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:
$h = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.
Ответ: 3 см.