Номер 4.14, страница 67 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.14. а) В прямоугольнике ABCD биссектриса угла А пересекает диагональ BD в точке P, $\angle APB = 75^\circ$. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

б) В прямоугольнике ABCD биссектриса угла В пересекает диагональ AC в точке K, $\angle AKB = 65^\circ$. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

а)

1. В прямоугольнике $ABCD$ все углы прямые, следовательно, $\angle DAB = 90^\circ$.

2. Так как $AP$ является биссектрисой угла $A$, она делит его пополам:
$\angle PAB = \frac{1}{2} \angle DAB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $APB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла, $\angle PAB = 45^\circ$ и $\angle APB = 75^\circ$, мы можем найти третий угол, $\angle ABP$:
$\angle ABP = 180^\circ - \angle PAB - \angle APB = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ$.

4. Угол $\angle ABP$ является углом между стороной $AB$ и диагональю $BD$, то есть $\angle ABD = 60^\circ$.

5. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = BO$.

6. Треугольник $AOB$ является равнобедренным ($AO = BO$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$.

7. Так как $\angle OBA = \angle ABD = 60^\circ$, то и $\angle OAB = 60^\circ$.

8. Угол между диагоналями – это угол при их пересечении, то есть $\angle AOB$. Найдем его из суммы углов треугольника $AOB$:
$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.

Углы между диагоналями равны $60^\circ$ и $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Углом между прямыми принято считать острый угол.

Ответ: $60^\circ$.

б)

1. Угол $B$ прямоугольника $ABCD$ равен $90^\circ$, то есть $\angle ABC = 90^\circ$.

2. Так как $BK$ является биссектрисой угла $B$, она делит его пополам:
$\angle ABK = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $AKB$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Зная углы $\angle ABK = 45^\circ$ и $\angle AKB = 65^\circ$, найдем угол $\angle KAB$:
$\angle KAB = 180^\circ - \angle ABK - \angle AKB = 180^\circ - 45^\circ - 65^\circ = 70^\circ$.

4. Угол $\angle KAB$ является углом между стороной $AB$ и диагональю $AC$, то есть $\angle CAB = 70^\circ$.

5. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO = BO$.

6. Треугольник $AOB$ является равнобедренным, и его углы при основании $AB$ равны: $\angle OAB = \angle OBA$.

7. Так как $\angle OAB = \angle CAB = 70^\circ$, то и $\angle OBA = 70^\circ$.

8. Угол между диагоналями $\angle AOB$ найдем из суммы углов треугольника $AOB$:
$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 40^\circ$.

Это острый угол между диагоналями.

Ответ: $40^\circ$.