Номер 4.7, страница 65 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.7. а) В прямоугольнике $ABCD$ из вершины $C$ проведен перпендикуляр $CH$ к диагонали $BD$. Найдите длину отрезка $BH$, если $AC = 12$ см и $\angle ABD : \angle CBD = 2 : 1$.

б) В прямоугольнике $ABCD$ из вершины $B$ проведен перпендикуляр $BF$ к диагонали $AC$. Найдите длину диагонали прямоугольника, если $FC = 12$ см и $\angle ACB : \angle ACD = 1 : 2$.

а)

Дано: $ABCD$ – прямоугольник, $CH \perp BD$, $AC = 12$ см, $\angle ABD : \angle CBD = 2:1$.
Найти: $BH$.

1. Поскольку $ABCD$ – прямоугольник, его угол $\angle ABC = 90^\circ$. Этот угол состоит из двух углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$.
По условию $\angle ABD : \angle CBD = 2:1$. Пусть $\angle CBD = x$, тогда $\angle ABD = 2x$.
Составим уравнение: $x + 2x = 90^\circ$, откуда $3x = 90^\circ$ и $x = 30^\circ$.
Следовательно, $\angle CBD = 30^\circ$ и $\angle ABD = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

2. В прямоугольнике диагонали равны, поэтому $BD = AC = 12$ см.

3. Противоположные стороны прямоугольника параллельны, то есть $AB \parallel DC$. Прямая $BD$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle BDC = \angle ABD = 60^\circ$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCD$ ($\angle C = 90^\circ$). Найдем сторону $CD$ через синус угла $\angle CBD$:
$CD = BD \cdot \sin(\angle CBD) = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDH$ (по условию $CH \perp BD$, значит $\angle CHD = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны гипотенуза $CD = 6$ см и угол $\angle CDH$ (который равен $\angle BDC$) $= 60^\circ$.
Найдем катет $DH$:
$DH = CD \cdot \cos(\angle CDH) = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

6. Длина отрезка $BH$ равна разности длин диагонали $BD$ и отрезка $DH$:
$BH = BD - DH = 12 - 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

б)

Дано: $ABCD$ – прямоугольник, $BF \perp AC$, $FC = 12$ см, $\angle ACB : \angle ACD = 1:2$.
Найти: длину диагонали $AC$.

1. Поскольку $ABCD$ – прямоугольник, его угол $\angle BCD = 90^\circ$. Этот угол состоит из двух углов, $\angle ACB$ и $\angle ACD$.
По условию $\angle ACB : \angle ACD = 1:2$. Пусть $\angle ACB = y$, тогда $\angle ACD = 2y$.
Составим уравнение: $y + 2y = 90^\circ$, откуда $3y = 90^\circ$ и $y = 30^\circ$.
Следовательно, $\angle ACB = 30^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $ABCD$ – прямоугольник, $\angle ABC = 90^\circ$.
По условию $BF \perp AC$, следовательно, $BF$ – высота, проведенная к гипотенузе $AC$. Это означает, что треугольник $\triangle BFC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BFC$.

3. В прямоугольном треугольнике $\triangle BFC$ известны катет $FC = 12$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle BCF = \angle ACB = 30^\circ$.
Найдем гипотенузу $BC$ этого треугольника с помощью косинуса:
$\cos(\angle BCF) = \frac{FC}{BC} \implies BC = \frac{FC}{\cos(30^\circ)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

4. Теперь рассмотрим основной прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. В нем нам известен катет $BC = 8\sqrt{3}$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle BCA = 30^\circ$.
Найдем гипотенузу $AC$, которая и является диагональю прямоугольника:
$\cos(\angle BCA) = \frac{BC}{AC} \implies AC = \frac{BC}{\cos(30^\circ)} = \frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 16$ см.

Ответ: 16 см.