Номер 3.10, страница 64 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.10. а) В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AD$ в точке $K$, а биссектриса угла $D$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$, если известно, что $PK = 15$ см и $AK : AD = 2 : 5$.

б) В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$, а биссектриса угла $B$ пересекает сторону $AD$ в точке $N$. Найдите периметр параллелограмма $MCDN$, если известно, что $AB = 12$ см и $AN : ND = 3 : 4$.

а)

1. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, следовательно, $AD \parallel BC$. Поскольку $CK$ — биссектриса угла $C$, то $\angle BCK = \angle DCK$. Углы $\angle BCK$ и $\angle CKD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $CK$, поэтому $\angle BCK = \angle CKD$. Из равенств $\angle BCK = \angle DCK$ и $\angle BCK = \angle CKD$ следует, что $\angle DCK = \angle CKD$. Таким образом, треугольник $KCD$ — равнобедренный с основанием $CK$, а это значит, что $KD = CD$.

2. Аналогично, $DP$ — биссектриса угла $D$, поэтому $\angle CDP = \angle ADP$. Углы $\angle ADP$ и $\angle CPD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $DP$, следовательно, $\angle ADP = \angle CPD$. Отсюда $\angle CDP = \angle CPD$, и треугольник $PCD$ является равнобедренным с основанием $DP$, что означает $PC = CD$.

3. Из предыдущих пунктов мы получили, что $KD = CD$ и $PC = CD$. Значит, $KD = PC$. Так как отрезки $KD$ и $PC$ лежат на параллельных прямых $AD$ и $BC$, они параллельны: $KD \parallel PC$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $KCDP$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $PK = CD$. По условию $PK = 15$ см, значит $CD = 15$ см.

4. Из условия известно, что $AK : AD = 2 : 5$. Обозначим $AK = 2x$, тогда $AD = 5x$. Точка $K$ лежит на стороне $AD$, поэтому $AD = AK + KD$. Подставляем наши значения: $5x = 2x + KD$. Из пункта 1 мы знаем, что $KD = CD = 15$ см. Получаем уравнение: $5x = 2x + 15$. Отсюда $3x = 15$, и $x = 5$ см.

5. Находим длину стороны $AD$: $AD = 5x = 5 \cdot 5 = 25$ см. Стороны параллелограмма $ABCD$ равны $AD = 25$ см и $CD = 15$ см.

6. Периметр параллелограмма $ABCD$ равен $P_{ABCD} = 2(AD + CD)$. Подставляем найденные значения: $P_{ABCD} = 2(25 + 15) = 2 \cdot 40 = 80$ см.

Ответ: 80 см.

б)

1. В параллелограмме $ABCD$ имеем $AD \parallel BC$ и $AB=CD$. По условию $AB = 12$ см, значит и $CD = 12$ см.

2. $AM$ — биссектриса угла $A$, поэтому $\angle BAM = \angle DAM$. Углы $\angle DAM$ и $\angle BMA$ — накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AM$, следовательно, $\angle DAM = \angle BMA$. Отсюда $\angle BAM = \angle BMA$. Это означает, что треугольник $ABM$ — равнобедренный с основанием $AM$, и $BM = AB = 12$ см.

3. $BN$ — биссектриса угла $B$, поэтому $\angle ABN = \angle CBN$. Углы $\angle CBN$ и $\angle ANB$ — накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BN$, следовательно, $\angle CBN = \angle ANB$. Отсюда $\angle ABN = \angle ANB$. Это означает, что треугольник $ABN$ — равнобедренный с основанием $BN$, и $AN = AB = 12$ см.

4. По условию дано соотношение $AN : ND = 3 : 4$. Подставив найденное значение $AN = 12$ см, получаем пропорцию: $12 : ND = 3 : 4$. Решая ее, находим $ND = \frac{12 \cdot 4}{3} = 16$ см.

5. Длина стороны $AD$ равна сумме длин отрезков $AN$ и $ND$: $AD = AN + ND = 12 + 16 = 28$ см. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $BC = AD = 28$ см.

6. Теперь найдем стороны параллелограмма $MCDN$. Мы уже знаем, что $CD = 12$ см и $DN = 16$ см. Найдем сторону $MC$. Точка $M$ лежит на стороне $BC$, поэтому $MC = BC - BM$. Подставляем известные значения: $MC = 28 - 12 = 16$ см. (Заметим, что $MC = ND$ и $MC \parallel ND$, что подтверждает, что $MCDN$ — параллелограмм).

7. Периметр параллелограмма $MCDN$ вычисляется по формуле $P_{MCDN} = 2(MC + CD)$. Подставляем найденные длины сторон: $P_{MCDN} = 2(16 + 12) = 2 \cdot 28 = 56$ см.

Ответ: 56 см.