Номер 4.12, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.12. a) Найдите периметр прямоугольника $ABCD$, если биссектрисы его углов $A$ и $B$ делят сторону $CD$ на два отрезка по 7 см.

б) Найдите периметр прямоугольника $ABCD$, если биссектрисы его углов $A$ и $B$ делят сторону $CD$ на три отрезка по 5 см, при этом точка пересечения биссектрис лежит вне прямоугольника.

Пусть `ABCD` — данный прямоугольник. Пусть биссектриса угла `A` пересекает сторону `CD` в точке `K`, и биссектриса угла `B` также пересекает `CD` в точке `K`. По условию, биссектрисы углов `A` и `B` делят сторону `CD` на два отрезка. Это означает, что точка пересечения биссектрис должна лежать на самой стороне `CD`.

Эта точка `K` делит сторону `CD` на два отрезка, `DK` и `CK`, каждый из которых по условию равен 7 см. Следовательно, `DK = 7` см и `CK = 7` см.

Длина стороны `CD` (и равной ей стороны `AB`) равна сумме длин этих отрезков:
`CD = DK + CK = 7 + 7 = 14` см.

Рассмотрим треугольник `ADK`. Поскольку `ABCD` — прямоугольник, угол `D` равен `90^\circ`. `AK` является биссектрисой угла `A`, поэтому угол `DAK` равен `90^\circ / 2 = 45^\circ`.

Так как стороны `AB` и `CD` прямоугольника параллельны, то углы `KAB` и `DKA` являются накрест лежащими при секущей `AK`. Значит, `\angle DKA = \angle KAB`. А так как `AK` — биссектриса, `\angle KAB = \angle DAK = 45^\circ`. Следовательно, `\angle DKA = 45^\circ`.

В треугольнике `ADK` два угла равны (`\angle DAK = \angle DKA = 45^\circ`), значит, он является равнобедренным, и сторона `AD` равна стороне `DK`. Поскольку `DK = 7` см, то `AD = 7` см. `AD` — это ширина прямоугольника.

Итак, мы имеем прямоугольник со сторонами 14 см и 7 см.

Периметр прямоугольника `P` вычисляется по формуле `P = 2 \times (длина + ширина)`:
`P = 2 \times (CD + AD) = 2 \times (14 + 7) = 2 \times 21 = 42` см.

Ответ: 42 см.

Пусть `ABCD` — данный прямоугольник. Пусть биссектриса угла `A` пересекает сторону `CD` в точке `E`, а биссектриса угла `B` — в точке `F`.

По условию, эти две биссектрисы делят сторону `CD` на три равных отрезка по 5 см. Пусть это будут отрезки `DE`, `EF` и `FC`. Тогда `DE = EF = FC = 5` см.

Длина стороны `CD` (и равной ей стороны `AB`) равна сумме длин этих трёх отрезков:
`CD = DE + EF + FC = 5 + 5 + 5 = 15` см.

Рассмотрим треугольник `ADE`. Угол `D` — прямой (`90^\circ`). `AE` — биссектриса угла `A`, поэтому `\angle DAE = 90^\circ / 2 = 45^\circ`.

Поскольку `AB \parallel CD`, углы `EAB` и `DEA` равны как накрест лежащие при секущей `AE`. Так как `\angle EAB = \angle DAE = 45^\circ`, то и `\angle DEA = 45^\circ`.

Треугольник `ADE` имеет два равных угла, следовательно, он равнобедренный, и `AD = DE`. Так как `DE = 5` см, то ширина прямоугольника `AD = 5` см.

Аналогично рассмотрим треугольник `BCF`. Угол `C` — прямой (`90^\circ`). `BF` — биссектриса угла `B`, поэтому `\angle CBF = 90^\circ / 2 = 45^\circ`. Углы `FBA` и `CFB` равны как накрест лежащие, поэтому `\angle CFB = 45^\circ`. Треугольник `BCF` является равнобедренным, и `BC = FC`. Так как `FC = 5` см, то `BC = 5` см.

Мы получили прямоугольник со сторонами 15 см и 5 см.

Проверим дополнительное условие: "точка пересечения биссектрис лежит вне прямоугольника". Пусть биссектрисы `AE` и `BF` пересекаются в точке `M`. В треугольнике `AMB` углы `\angle MAB` и `\angle MBA` равны `45^\circ`. Значит, `\triangle AMB` — равнобедренный, и его высота, опущенная из `M` на `AB`, равна половине `AB`, то есть `15 / 2 = 7,5` см. Это расстояние от точки `M` до стороны `AB`. Ширина прямоугольника `AD` равна 5 см. Так как `7,5 > 5`, точка `M` действительно лежит вне прямоугольника.

Найдем периметр: `P = 2 \times (CD + AD) = 2 \times (15 + 5) = 2 \times 20 = 40` см.

Ответ: 40 см.