Номер 7.2, страница 71 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.2. Пользуясь данными рисунков 121, а), б), найдите длину CB.

а) $AA_1 || BB_1 || CC_1$

б) $AA_1 || BB_1 || CC_1 || DD_1$

Рис. 121

а)

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Фалеса. Теорема гласит: если параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на одной прямой равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой прямой.

По условию задачи, прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$. Эти прямые пересекают две другие прямые (в данном случае, стороны угла).

На рисунке 121, а) штрихами отмечено, что отрезки $C_1A_1$ и $A_1B_1$ на верхней прямой равны, то есть $C_1A_1 = A_1B_1$.

Согласно теореме Фалеса, соответствующие отрезки, отсекаемые этими параллельными прямыми на нижней прямой, также будут равны. Таким образом, $CA = AB$.

Из условия известно, что длина отрезка $AC$ равна 8 см. Следовательно, длина отрезка $AB$ также составляет 8 см.

Длина искомого отрезка $CB$ является суммой длин отрезков $CA$ и $AB$:

$CB = CA + AB = 8 \text{ см} + 8 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

Ответ: 16 см.

б)

Решение этого пункта аналогично предыдущему и также основывается на теореме Фалеса.

По условию, прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ параллельны: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$.

На рисунке 121, б) показано, что отрезки на верхней прямой $C_1A_1$, $A_1D_1$ и $D_1B_1$ равны между собой, что обозначено одинаковыми штрихами: $C_1A_1 = A_1D_1 = D_1B_1$.

Применяя теорему Фалеса, мы можем заключить, что соответствующие отрезки на нижней прямой также равны: $CA = AD = DB$.

Из условия известно, что длина отрезка $CA$ равна 9 см. Следовательно, длины отрезков $AD$ и $DB$ также равны по 9 см.

Длина искомого отрезка $CB$ равна сумме длин составляющих его отрезков $CA$, $AD$ и $DB$:

$CB = CA + AD + DB = 9 \text{ см} + 9 \text{ см} + 9 \text{ см} = 27 \text{ см}$.

Ответ: 27 см.