Номер 6.7, страница 70 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.7. В равностороннем треугольнике $APC$ проведена высота $PH$. Прямоугольник $PRTH$ разделен отрезком $MN$ на два квадрата (рис. 119). Найдите величину угла $HKP$.

Рис. 119

Введем обозначение для стороны квадратов. Пусть сторона каждого из квадратов $PRNM$ и $MNTH$ равна $a$. Тогда из рисунка видно, что высота $PH$ прямоугольника $PRTH$ равна $PM + MH = a + a = 2a$, а его ширина $HT$ равна $a$.

Треугольник $APC$ является равносторонним, следовательно, все его углы равны $60^\circ$. В частности, $\angle PCH = 60^\circ$. Поскольку $PH$ — высота, проведенная к стороне $AC$, треугольник $PHC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$.

В прямоугольном треугольнике $PHC$ мы можем выразить катет $HC$ через катет $PH$ и угол $\angle PCH$:$$ \tan(\angle PCH) = \frac{PH}{HC} $$$$ \tan(60^\circ) = \frac{2a}{HC} $$Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:$$ \sqrt{3} = \frac{2a}{HC} \implies HC = \frac{2a}{\sqrt{3}} $$

Точка $K$ лежит на пересечении отрезков $PC$ и $RT$. Поскольку $PRTH$ — прямоугольник, сторона $RT$ параллельна стороне $PH$. Так как $PH \perp AC$, то и $RT \perp AC$. Следовательно, треугольник $KTC$ является прямоугольным ($\angle KTC = 90^\circ$).

Треугольники $\triangle KTC$ и $\triangle PHC$ подобны по двум углам (оба прямоугольные и имеют общий угол $\angle C$). Из подобия следует соотношение сторон:$$ \frac{KT}{PH} = \frac{TC}{HC} $$Длину отрезка $TC$ можно найти как разность длин отрезков $HC$ и $HT$:$$ TC = HC - HT = \frac{2a}{\sqrt{3}} - a = a \left( \frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \right) = a \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} $$Теперь найдем длину катета $KT$:$$ KT = PH \cdot \frac{TC}{HC} = 2a \cdot \frac{a \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{\frac{2a}{\sqrt{3}}} = 2a \cdot \frac{a(2 - \sqrt{3})}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2a} = a(2 - \sqrt{3}) $$

Рассмотрим треугольник $HKP$, величину угла $\angle HKP$ которого нам нужно найти. Определим длины его сторон $HP$ и $KP$.

Сторона $HP$ совпадает с высотой $PH$, поэтому ее длина $HP = 2a$.

Сторону $KP$ можно найти, например, с помощью теоремы Пифагора. Для этого мысленно поместим точку $H$ в начало координат $(0,0)$. Тогда точка $P$ будет иметь координаты $(0, 2a)$, а точка $T$ — $(a, 0)$. Так как $K$ лежит на отрезке $RT$, который перпендикулярен оси $AC$ (оси $x$), ее x-координата равна $a$, а y-координата равна длине отрезка $KT$. Таким образом, координаты точки $K$ — $(a, a(2-\sqrt{3}))$. Найдем квадрат расстояния между точками $K(a, a(2-\sqrt{3}))$ и $P(0, 2a)$:$$ KP^2 = (a - 0)^2 + (a(2-\sqrt{3}) - 2a)^2 = a^2 + (a(2-\sqrt{3}-2))^2 = a^2 + (-a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2 $$Отсюда $KP = \sqrt{4a^2} = 2a$.

Мы получили, что в треугольнике $HKP$ стороны $HP$ и $KP$ равны ($HP = KP = 2a$). Следовательно, треугольник $HKP$ является равнобедренным, и углы при его основании $HK$ равны: $\angle HKP = \angle KHP$.

Найдем величину угла $\angle KHP$. Этот угол является частью прямого угла $\angle PHT = 90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KHT$ (прямой угол при вершине $T$). Мы знаем длины его катетов: $HT = a$ и $KT = a(2-\sqrt{3})$. Найдем тангенс угла $\angle KHT$:$$ \tan(\angle KHT) = \frac{KT}{HT} = \frac{a(2-\sqrt{3})}{a} = 2 - \sqrt{3} $$Известно, что $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$. Следовательно, $\angle KHT = 15^\circ$.

Угол $\angle KHP$ можно найти как разность углов $\angle PHT$ и $\angle KHT$:$$ \angle KHP = \angle PHT - \angle KHT = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ $$Поскольку $\angle HKP = \angle KHP$, то искомый угол также равен $75^\circ$.

Ответ: $75^\circ$.