Номер 8.6, страница 73 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.6. a) Сторона прямоугольника равна 7 см и образует угол $60^\circ$ с диагональю. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника.

б) Периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, равен 40 см. Найдите длину диагонали прямоугольника.

а)

Пусть дан прямоугольник, у которого одна из сторон равна $a=7$ см, а диагональ $d$. Угол между этой стороной и диагональю составляет $60^\circ$. Диагональ и две смежные стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник, где диагональ является гипотенузой, а сторона $a$ — катетом, прилежащим к углу $60^\circ$.

Для нахождения длины диагонали $d$ воспользуемся определением косинуса угла: $ \cos(60^\circ) = \frac{a}{d} $

Зная, что $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $, подставляем известные значения в формулу: $ \frac{1}{2} = \frac{7}{d} $

Отсюда находим длину диагонали: $ d = 7 \cdot 2 = 14 $ см.

Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, является ромбом (это следует из теоремы Вариньона, так как диагонали прямоугольника равны). Каждая сторона этого ромба является средней линией одного из четырех треугольников, на которые прямоугольник делится своими диагоналями. Длина стороны ромба $s$ равна половине длины диагонали прямоугольника.

$ s = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7 $ см.

Периметр ромба $P$ равен сумме длин его четырех равных сторон: $ P = 4s = 4 \cdot 7 = 28 $ см.

Ответ: 28 см.

б)

Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, является ромбом. Согласно теореме Вариньона, периметр такого четырехугольника (параллелограмма Вариньона) равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника.

Пусть $P$ — периметр ромба, а $d_1$ и $d_2$ — диагонали прямоугольника. Тогда: $ P = d_1 + d_2 $

В прямоугольнике диагонали равны, то есть $d_1 = d_2 = d$. Следовательно, формула для периметра ромба принимает вид: $ P = d + d = 2d $

По условию задачи, периметр четырехугольника равен 40 см. Подставим это значение в нашу формулу: $ 40 = 2d $

Теперь найдем длину диагонали $d$: $ d = \frac{40}{2} = 20 $ см.

Ответ: 20 см.