Номер 9.1, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.1. По данным рисунков 126, а), б) найдите длину медианы $AN$.

а) $AO = 10$ см

б) $ON = 5$ см

Рис. 126

На рисунках изображен треугольник $ABC$, в котором проведены медианы $AN$ и $BM$ (поскольку точки $N$ и $M$ являются серединами сторон $BC$ и $AC$ соответственно, что обозначено штрихами). Точка $O$ является точкой пересечения медиан.

Согласно свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $AN$ это означает, что $AO : ON = 2 : 1$.

Из этого соотношения следует, что отрезок $AO$ составляет $\frac{2}{3}$ всей длины медианы $AN$, а отрезок $ON$ составляет $\frac{1}{3}$ ее длины. Таким образом, $AN = AO + ON$.

а)

По условию дано, что длина отрезка $AO = 10$ см.

Так как $AO$ составляет две части медианы, а $ON$ — одну часть, то мы можем найти длину отрезка $ON$:

$ON = \frac{AO}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

Теперь найдем полную длину медианы $AN$, сложив длины ее частей:

$AN = AO + ON = 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Ответ: 15 см.

б)

По условию дано, что длина отрезка $ON = 5$ см.

Так как $ON$ составляет одну часть медианы, а $AO$ — две части, то мы можем найти длину отрезка $AO$:

$AO = 2 \cdot ON = 2 \cdot 5 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Теперь найдем полную длину медианы $AN$, сложив длины ее частей:

$AN = AO + ON = 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Ответ: 15 см.