Номер 9.6, страница 76 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.6. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $BD = 24 \text{ см}$, точка $M$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $PD$, где $P$ — точка пересечения прямых $AM$ и $BD$.

б) В параллелограмме $ABCD$ точка $N$ — середина стороны $CD$, $K$ — точка пересечения прямых $AC$ и $BN$, $KC = 8 \text{ см}$. Найдите длину диагонали $AC$.

а)

Рассмотрим треугольники $\triangle APD$ и $\triangle MPB$.

1. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны параллельны, следовательно, $AD \parallel BC$.

2. Углы $\angle ADP$ и $\angle MBP$ (или $\angle ADB$ и $\angle CBD$) равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$.

3. Углы $\angle APD$ и $\angle MPB$ равны как вертикальные.

Из этих двух пунктов следует, что $\triangle APD \sim \triangle MPB$ (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны: $$ \frac{PD}{PB} = \frac{AD}{MB} $$

По условию, точка $M$ — середина стороны $BC$, значит $MB = \frac{1}{2} BC$. Так как в параллелограмме противолежащие стороны равны, $AD = BC$. Отсюда следует, что $AD = 2 \cdot MB$.

Подставим это соотношение в нашу пропорцию: $$ \frac{PD}{PB} = \frac{2 \cdot MB}{MB} = 2 $$ Таким образом, $PD = 2 \cdot PB$.

Длина диагонали $BD$ равна сумме длин отрезков $PD$ и $PB$: $BD = PD + PB$. По условию $BD = 24$ см. Заменим $PB$ на $\frac{1}{2}PD$: $$ PD + \frac{1}{2}PD = 24 $$ $$ \frac{3}{2}PD = 24 $$ $$ PD = 24 \cdot \frac{2}{3} $$ $$ PD = 16 \text{ см} $$

Ответ: 16 см.

б)

Рассмотрим треугольники $\triangle AKB$ и $\triangle CKN$.

1. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны параллельны, следовательно, $AB \parallel CD$.

2. Углы $\angle KAB$ и $\angle KCN$ (или $\angle BAC$ и $\angle ACD$) равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.

3. Углы $\angle AKB$ и $\angle CKN$ равны как вертикальные.

Следовательно, $\triangle AKB \sim \triangle CKN$ (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{AK}{CK} = \frac{AB}{CN} $$

По условию, точка $N$ — середина стороны $CD$, значит $CN = \frac{1}{2} CD$. В параллелограмме $AB = CD$, следовательно, $AB = 2 \cdot CN$.

Подставим это в пропорцию: $$ \frac{AK}{CK} = \frac{2 \cdot CN}{CN} = 2 $$ Отсюда $AK = 2 \cdot CK$.

По условию $KC = 8$ см. Найдем $AK$: $$ AK = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см} $$

Диагональ $AC$ состоит из отрезков $AK$ и $KC$. Найдем ее длину: $$ AC = AK + KC = 16 + 8 = 24 \text{ см} $$

Ответ: 24 см.