Номер 10.3, страница 77 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.3. a) В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ угол $A$ в 3 раза меньше угла $B$, а угол $C$ в 4 раза больше угла $D$. Найдите градусные меры углов трапеции.

б) В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ угол $B$ на $108^{\circ}$ больше угла $A$, а угол $D$ на $120^{\circ}$ меньше угла $C$. Найдите градусные меры углов трапеции.

а) В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$). Основное свойство углов трапеции заключается в том, что сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Для трапеции $ABCD$ это означает:
1. $\angle A + \angle B = 180^\circ$ (для боковой стороны $AB$)
2. $\angle C + \angle D = 180^\circ$ (для боковой стороны $CD$)

По условию, угол $A$ в 3 раза меньше угла $B$. Обозначим градусную меру угла $A$ как $x$. Тогда градусная мера угла $B$ будет $3x$. Подставим эти значения в первое уравнение:
$x + 3x = 180^\circ$
$4x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{4}$
$x = 45^\circ$
Следовательно, $\angle A = 45^\circ$.
Тогда $\angle B = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

Далее, по условию, угол $C$ в 4 раза больше угла $D$. Обозначим градусную меру угла $D$ как $y$. Тогда градусная мера угла $C$ будет $4y$. Подставим эти значения во второе уравнение:
$4y + y = 180^\circ$
$5y = 180^\circ$
$y = \frac{180^\circ}{5}$
$y = 36^\circ$
Следовательно, $\angle D = 36^\circ$.
Тогда $\angle C = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$.

Проверка: $\angle A + \angle B = 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 144^\circ + 36^\circ = 180^\circ$. Условия выполнены.

Ответ: $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 135^\circ$, $\angle C = 144^\circ$, $\angle D = 36^\circ$.

б) Используем то же свойство углов трапеции, прилежащих к боковым сторонам:
1. $\angle A + \angle B = 180^\circ$
2. $\angle C + \angle D = 180^\circ$

По условию, угол $B$ на $108^\circ$ больше угла $A$. Если обозначить $\angle A = x$, то $\angle B = x + 108^\circ$. Подставим в первое уравнение:
$x + (x + 108^\circ) = 180^\circ$
$2x + 108^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 108^\circ$
$2x = 72^\circ$
$x = \frac{72^\circ}{2}$
$x = 36^\circ$
Следовательно, $\angle A = 36^\circ$.
Тогда $\angle B = 36^\circ + 108^\circ = 144^\circ$.

Далее, по условию, угол $D$ на $120^\circ$ меньше угла $C$. Если обозначить $\angle C = y$, то $\angle D = y - 120^\circ$. Подставим во второе уравнение:
$y + (y - 120^\circ) = 180^\circ$
$2y - 120^\circ = 180^\circ$
$2y = 180^\circ + 120^\circ$
$2y = 300^\circ$
$y = \frac{300^\circ}{2}$
$y = 150^\circ$
Следовательно, $\angle C = 150^\circ$.
Тогда $\angle D = 150^\circ - 120^\circ = 30^\circ$.

Проверка: $\angle A + \angle B = 36^\circ + 144^\circ = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 150^\circ + 30^\circ = 180^\circ$. Условия выполнены.

Ответ: $\angle A = 36^\circ$, $\angle B = 144^\circ$, $\angle C = 150^\circ$, $\angle D = 30^\circ$.