Номер 11.1, страница 78 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.1. По данным рисунков 132, а), б) найдите длины отрезков, на которые высота делит большее основание трапеции.

а) $AD = 17 \text{ см}$, $BC = 9 \text{ см}$

б) $AD = 19 \text{ см}$, $BC = 5 \text{ см}$

Рис. 132

а)

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, изображенную на рисунке 132 а). В ней основаниями являются $AD$ и $BC$, а боковые стороны $AB$ и $CD$ равны, что показано штрихами. Дано: большее основание $AD = 17$ см, меньшее основание $BC = 9$ см. Высота $CH$, проведенная из вершины $C$ к основанию $AD$, делит его на два отрезка: $AH$ и $HD$.
Воспользуемся свойством равнобедренной трапеции. Если из вершин меньшего основания ($B$ и $C$) опустить высоты на большее основание, то они отсекут от него два равных отрезка у боковых сторон. Пусть высота из $B$ падает в точку $P$. Тогда $AP = HD$.
Длину отрезка $HD$ можно найти по формуле: $HD = \frac{AD - BC}{2}$
Подставим известные значения: $HD = \frac{17 - 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Длина второго отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AP$ и $PH$. Так как $PH = BC$ и $AP = HD$, то $AH = HD + BC$. Или проще, можно найти $AH$ как разность длин $AD$ и $HD$: $AH = AD - HD = 17 - 4 = 13$ см.
Можно также использовать формулу для большего отрезка: $AH = \frac{AD + BC}{2} = \frac{17 + 9}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см. Таким образом, высота $CH$ делит основание $AD$ на отрезки длиной 13 см и 4 см.

Ответ: 13 см и 4 см.

б)

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, изображенную на рисунке 132 б). Дано: большее основание $AD = 19$ см, меньшее основание $BC = 5$ см. Высота $BP$, проведенная из вершины $B$ к основанию $AD$, делит его на два отрезка: $AP$ и $PD$.
Как и в предыдущем случае, воспользуемся свойством равнобедренной трапеции. Отрезок $AP$, прилегающий к боковой стороне, вычисляется по формуле: $AP = \frac{AD - BC}{2}$
Подставим известные значения: $AP = \frac{19 - 5}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.
Длину второго отрезка $PD$ можно найти, вычтя из длины всего основания $AD$ длину отрезка $AP$: $PD = AD - AP = 19 - 7 = 12$ см.
Также, для нахождения большего отрезка $PD$ можно использовать формулу: $PD = \frac{AD + BC}{2} = \frac{19 + 5}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см. Таким образом, высота $BP$ делит основание $AD$ на отрезки длиной 7 см и 12 см.

Ответ: 7 см и 12 см.