Номер 11.8, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.8. a) В прямоугольной трапеции $ABCD$ ($\angle A = 90^\circ$) боковая сторона $CD$ равна 16 см, разность оснований равна 8 см. Найдите градусную меру угла $BCD$.

б) В прямоугольной трапеции $ABCD$ ($\angle A = 90^\circ$) боковая сторона $CD$ равна 14 см, разность оснований равна 7 см. Найдите разность градусных мер углов $BCD$ и $ADC$.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC — основания (AD || BC), а AB — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Условие ∠A = 90° означает, что боковая сторона AB перпендикулярна основанию AD. Так как основания трапеции параллельны (AD || BC), то сторона AB также перпендикулярна и основанию BC, а значит, ∠B = 90°.

Для решения задачи проведем из вершины C высоту CH на большее основание AD. Поскольку AB ⊥ AD и CH ⊥ AD, то отрезки AB и CH параллельны и равны. Четырехугольник ABCH является прямоугольником, так как все его углы прямые. Из этого следует, что AH = BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD, в котором ∠CHD = 90°. Гипотенузой этого треугольника является боковая сторона трапеции CD, длина которой по условию равна 16 см.

Катет HD можно найти как разность длин оснований трапеции: $HD = AD - AH$. Так как AH = BC, получаем $HD = AD - BC$. По условию задачи, разность оснований равна 8 см, следовательно, $HD = 8$ см.

Теперь мы можем найти углы в треугольнике CHD. Угол BCD трапеции состоит из двух углов: ∠BCH и ∠HCD. Так как ABCH — прямоугольник, то ∠BCH = 90°. Найдем величину угла ∠HCD.

В прямоугольном треугольнике CHD катет HD является противолежащим для угла ∠HCD. Используем синус для нахождения этого угла: $\sin(\angle HCD) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{HD}{CD} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен 1/2, составляет 30°. Таким образом, ∠HCD = 30°.

Теперь можно вычислить искомую градусную меру угла BCD: $\angle BCD = \angle BCH + \angle HCD = 90° + 30° = 120°$

Ответ: 120°.

Аналогично пункту а), рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD с основаниями AD и BC (AD > BC) и боковой стороной AB, перпендикулярной основаниям. Это означает, что ∠A = ∠B = 90°. Дано: боковая сторона CD = 14 см, разность оснований $AD - BC = 7$ см.

Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. В результате образуется прямоугольный треугольник CHD (∠CHD = 90°).

Катет HD в этом треугольнике равен разности оснований трапеции: $HD = AD - BC = 7$ см. Гипотенуза CD равна боковой стороне трапеции: $CD = 14$ см.

Найдем градусные меры углов ADC и BCD. Угол ADC трапеции равен углу CDH в нашем прямоугольном треугольнике. Найдем его косинус: $\cos(\angle ADC) = \cos(\angle CDH) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{HD}{CD} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен 1/2, составляет 60°. Следовательно, $\angle ADC = 60°$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна 180°. Для боковой стороны CD имеем: $\angle BCD + \angle ADC = 180°$ $\angle BCD = 180° - \angle ADC = 180° - 60° = 120°$

Теперь найдем разность градусных мер углов BCD и ADC: $\angle BCD - \angle ADC = 120° - 60° = 60°$

Ответ: 60°.