Номер 12.4, страница 82 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.4. a) Известны координаты трех вершин прямоугольника: $(-2; 7)$, $(-2; -1)$, $(7; 7)$. Изобразите данный прямоугольник, определив координаты его четвертой вершины, и постройте фигуру, симметричную данной относительно оси абсцисс.

б) Известны координаты трех вершин прямоугольника: $(-3; 8)$, $(-3; -2)$, $(8; 8)$. Изобразите данный прямоугольник, определив координаты его четвертой вершины, и постройте фигуру, симметричную данной относительно оси ординат.

а)

Даны три вершины прямоугольника: $A(-2; 7)$, $B(-2; -1)$ и $C(7; 7)$. Четвертую вершину обозначим как $D(x_D; y_D)$.

Для того чтобы найти координаты четвертой вершины, проанализируем расположение данных точек. Точки $A(-2; 7)$ и $B(-2; -1)$ имеют одинаковую абсциссу $x=-2$. Следовательно, они лежат на вертикальной прямой $x=-2$, и отрезок $AB$ является стороной прямоугольника, параллельной оси ординат. Точки $A(-2; 7)$ и $C(7; 7)$ имеют одинаковую ординату $y=7$. Следовательно, они лежат на горизонтальной прямой $y=7$, и отрезок $AC$ является стороной прямоугольника, параллельной оси абсцисс. Поскольку одна сторона ($AB$) вертикальна, а другая ($AC$) горизонтальна, они перпендикулярны. Значит, $A$ — это вершина, в которой сходятся две смежные стороны прямоугольника.

У прямоугольника противоположные стороны параллельны и равны. Сторона, противоположная $AC$, должна быть $BD$. Она также должна быть горизонтальной, поэтому ордината точки $D$ должна быть такой же, как у точки $B$: $y_D = -1$. Сторона, противоположная $AB$, должна быть $CD$. Она также должна быть вертикальной, поэтому абсцисса точки $D$ должна быть такой же, как у точки $C$: $x_D = 7$. Таким образом, координаты четвертой вершины прямоугольника — $D(7; -1)$.

Теперь построим фигуру, симметричную полученному прямоугольнику относительно оси абсцисс ($Ox$). При симметрии относительно оси абсцисс координата $x$ каждой точки остается неизменной, а координата $y$ меняет свой знак на противоположный. Точка с координатами $(x; y)$ отображается в точку $(x; -y)$.

Найдем координаты вершин симметричного прямоугольника $A'B'C'D'$: $A(-2; 7) \rightarrow A'(-2; -7)$ $B(-2; -1) \rightarrow B'(-2; 1)$ $C(7; 7) \rightarrow C'(7; -7)$ $D(7; -1) \rightarrow D'(7; 1)$ Вершины симметричного прямоугольника: $A'(-2; -7)$, $B'(-2; 1)$, $C'(7; -7)$, $D'(7; 1)$.

Ответ: Координаты четвертой вершины прямоугольника — $(7; -1)$. Координаты вершин фигуры, симметричной данному прямоугольнику относительно оси абсцисс: $(-2; -7)$, $(-2; 1)$, $(7; -7)$, $(7; 1)$.

б)

Даны три вершины прямоугольника: $(-3; 8)$, $(-3; -2)$ и $(8; 8)$. Обозначим их как $A(-3; 8)$, $B(-3; -2)$ и $C(8; 8)$. Четвертую вершину обозначим как $D(x_D; y_D)$.

Как и в предыдущем пункте, стороны прямоугольника параллельны осям координат. Сторона $AB$ лежит на прямой $x=-3$, а сторона $AC$ — на прямой $y=8$. Они перпендикулярны, значит, это смежные стороны.

Противоположная стороне $AC$ сторона $BD$ должна быть параллельна оси абсцисс, поэтому ордината точки $D$ совпадает с ординатой точки $B$: $y_D = -2$. Противоположная стороне $AB$ сторона $CD$ должна быть параллельна оси ординат, поэтому абсцисса точки $D$ совпадает с абсциссой точки $C$: $x_D = 8$. Следовательно, координаты четвертой вершины — $D(8; -2)$.

Теперь построим фигуру, симметричную данному прямоугольнику относительно оси ординат ($Oy$). При симметрии относительно оси ординат координата $y$ каждой точки остается неизменной, а координата $x$ меняет свой знак на противоположный. Точка с координатами $(x; y)$ отображается в точку $(-x; y)$.

Найдем координаты вершин симметричного прямоугольника $A'B'C'D'$: $A(-3; 8) \rightarrow A'(3; 8)$ $B(-3; -2) \rightarrow B'(3; -2)$ $C(8; 8) \rightarrow C'(-8; 8)$ $D(8; -2) \rightarrow D'(-8; -2)$ Вершины симметричного прямоугольника: $A'(3; 8)$, $B'(3; -2)$, $C'(-8; 8)$, $D'(-8; -2)$.

Ответ: Координаты четвертой вершины прямоугольника — $(8; -2)$. Координаты вершин фигуры, симметричной данному прямоугольнику относительно оси ординат: $(3; 8)$, $(3; -2)$, $(-8; 8)$, $(-8; -2)$.