Номер 11.9, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.9. а) Основания равнобедренной трапеции равны 5 см и 9 см, острый угол равен $60^\circ$. Найдите периметр трапеции.

б) Средняя линия равнобедренной трапеции равна 8,5 см, расстояние между серединами диагоналей равно 2,5 см, периметр трапеции равен 27 см. Найдите градусные меры углов трапеции.

а) Пусть дана равнобедренная трапеция с основаниями $a$ и $b$, где $a=5$ см и $b=9$ см. Боковые стороны равны $c$, а острый угол при основании равен $\alpha = 60^\circ$. Для нахождения боковой стороны трапеции проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. В равнобедренной трапеции высота отсекает от большего основания отрезок, длина которого равна полуразности оснований. Найдем длину этого отрезка $x$: $x = \frac{b - a}{2} = \frac{9 - 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. Этот отрезок является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является боковая сторона $c$, а одним из углов — острый угол трапеции $\alpha = 60^\circ$. Связь между этим катетом, гипотенузой и прилежащим углом выражается через косинус: $\cos(\alpha) = \frac{x}{c}$ Отсюда можем выразить боковую сторону $c$: $c = \frac{x}{\cos(\alpha)} = \frac{2}{\cos(60^\circ)}$ Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $c = \frac{2}{1/2} = 4$ см. Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон: $P = a + b + 2c = 5 + 9 + 2 \cdot 4 = 14 + 8 = 22$ см.
Ответ: 22 см.

б) Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$ ($b>a$), боковая сторона — $c$. Длина средней линии трапеции $m$ и расстояние между серединами диагоналей $d$ связаны с основаниями следующими формулами: $m = \frac{a+b}{2}$ $d = \frac{b-a}{2}$ По условию $m = 8,5$ см и $d = 2,5$ см. Составим и решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{a+b}{2} = 8,5 \\ \frac{b-a}{2} = 2,5 \end{cases} \implies \begin{cases} a+b = 17 \\ b-a = 5 \end{cases} $ Сложив два уравнения, получим: $(a+b) + (b-a) = 17+5 \implies 2b = 22 \implies b = 11$ см. Подставив $b=11$ в первое уравнение, найдем $a$: $a+11=17 \implies a = 6$ см. Итак, основания трапеции равны 6 см и 11 см. Периметр равнобедренной трапеции $P = a+b+2c$. По условию $P=27$ см. $6 + 11 + 2c = 27$ $17 + 2c = 27$ $2c = 10$ $c = 5$ см. Боковая сторона трапеции равна 5 см. Для нахождения углов трапеции воспользуемся тем же подходом, что и в пункте а). Найдем длину проекции боковой стороны на большее основание: $x = \frac{b-a}{2} = \frac{11-6}{2} = 2,5$ см. Найдем косинус острого угла $\alpha$ при основании трапеции: $\cos(\alpha) = \frac{x}{c} = \frac{2,5}{5} = \frac{1}{2}$ Отсюда следует, что острый угол $\alpha = 60^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Найдем тупой угол $\beta$: $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Таким образом, в трапеции два острых угла по $60^\circ$ и два тупых угла по $120^\circ$.
Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.