Номер 11.7, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.7. a) Длины боковых сторон прямоугольной трапеции относятся как 2 : 5, а их сумма равна 70 см. Найдите высоту трапеции.

б) Длины боковых сторон прямоугольной трапеции относятся как 3 : 5, ее высота равна 15 см. Найдите периметр трапеции, если средняя линия равна 20 см.

а) В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции. Вторая боковая сторона является наклонной. Высота прямоугольной трапеции всегда короче другой (наклонной) боковой стороны, так как наклонная сторона является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где высота — один из катетов.
Пусть $h$ — высота, а $c$ — вторая боковая сторона. По условию, их длины относятся как $2:5$. Поскольку высота является меньшей стороной, то $h:c = 2:5$.
Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины боковых сторон можно записать как $h = 2x$ и $c = 5x$.
Их сумма по условию равна 70 см:
$h + c = 70$
$2x + 5x = 70$
$7x = 70$
$x = \frac{70}{7} = 10$ см.
Теперь найдем высоту трапеции:
$h = 2x = 2 \cdot 10 = 20$ см.
Ответ: 20 см.

б) Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон. Пусть $a$ и $b$ — основания, а $c_1$ и $c_2$ — боковые стороны. Тогда формула периметра: $P = a + b + c_1 + c_2$.
В прямоугольной трапеции одна боковая сторона является высотой ($h = c_1$), а другая — наклонной стороной ($c_2$). Высота всегда короче наклонной.
По условию, длины боковых сторон относятся как $3:5$, а высота равна $h = 15$ см. Следовательно, высота является меньшей из боковых сторон, и ее часть в отношении равна 3.
Найдем длину второй, большей боковой стороны ($c_2$) из пропорции:
$\frac{h}{c_2} = \frac{3}{5}$
$\frac{15}{c_2} = \frac{3}{5}$
$c_2 = \frac{15 \cdot 5}{3} = 5 \cdot 5 = 25$ см.
Таким образом, длины боковых сторон равны 15 см и 25 см.
Средняя линия трапеции ($m$) вычисляется по формуле $m = \frac{a+b}{2}$. По условию, $m = 20$ см.
Из этой формулы можно найти сумму оснований:
$a + b = 2m = 2 \cdot 20 = 40$ см.
Теперь мы можем вычислить периметр, сложив сумму оснований и длины боковых сторон:
$P = (a+b) + c_1 + c_2 = 40 + 15 + 25 = 80$ см.
Ответ: 80 см.