Номер 11.4, страница 79 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.4. a) В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ угол $A$ на $90^{\circ}$ меньше угла $B$. Найдите градусные меры углов трапеции.

б) В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ угол $C$ в 4 раза больше угла $D$. Найдите градусные меры углов трапеции.

а) В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Также углы при каждом основании равны. Таким образом, справедливы следующие соотношения: $\angle A + \angle B = 180^\circ$, $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.

По условию задачи, угол $A$ на $90^\circ$ меньше угла $B$. Запишем это в виде уравнения:
$\angle A = \angle B - 90^\circ$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $\angle A + \angle B = 180^\circ$
2) $\angle A = \angle B - 90^\circ$

Подставим выражение для $\angle A$ из второго уравнения в первое:
$(\angle B - 90^\circ) + \angle B = 180^\circ$
$2\angle B - 90^\circ = 180^\circ$
$2\angle B = 180^\circ + 90^\circ$
$2\angle B = 270^\circ$
$\angle B = \frac{270^\circ}{2} = 135^\circ$

Зная $\angle B$, находим $\angle A$:
$\angle A = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ$

Так как трапеция равнобедренная, углы при основаниях равны:
$\angle C = \angle B = 135^\circ$
$\angle D = \angle A = 45^\circ$
Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 135^\circ, 45^\circ$.

б) Как и в предыдущем пункте, используем свойства равнобедренной трапеции $ABCD$: сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$, и углы при основаниях равны. Нас интересуют углы при боковой стороне $CD$: $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

По условию, угол $C$ в 4 раза больше угла $D$:
$\angle C = 4 \cdot \angle D$

Подставим это соотношение в уравнение суммы углов:
$(4 \cdot \angle D) + \angle D = 180^\circ$
$5 \cdot \angle D = 180^\circ$
$\angle D = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$

Теперь находим градусную меру угла $C$:
$\angle C = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$

Поскольку трапеция равнобедренная, то углы при ее основаниях равны:
$\angle A = \angle D = 36^\circ$
$\angle B = \angle C = 144^\circ$
Ответ: $36^\circ, 144^\circ, 144^\circ, 36^\circ$.