Номер 10.5, страница 77 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.5. a) Меньшее основание трапеции равно 4 см, отрезок, соединяющий середины ее диагоналей, равен 8 см. Найдите длину большего основания трапеции.

б) Средняя линия трапеции равна 17 см, а отрезок, соединяющий середины ее диагоналей, равен 2 см. Найдите длины оснований трапеции.

а)

Пусть $a$ — длина большего основания трапеции, а $b$ — длина меньшего основания. Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, обозначается как $d$ и вычисляется по формуле, которая связывает его с длинами оснований:
$d = \frac{a - b}{2}$
Согласно условию задачи, нам даны:
Меньшее основание $b = 4$ см.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, $d = 8$ см.
Подставим известные значения в формулу:
$8 = \frac{a - 4}{2}$
Теперь решим это уравнение относительно $a$:
$8 \cdot 2 = a - 4$
$16 = a - 4$
$a = 16 + 4$
$a = 20$ см.
Таким образом, длина большего основания трапеции составляет 20 см.

Ответ: 20 см.

б)

Пусть $a$ и $b$ — длины большего и меньшего оснований трапеции соответственно. Обозначим среднюю линию трапеции как $m$, а отрезок, соединяющий середины диагоналей, как $d$.
Существуют две основные формулы, связывающие эти величины с основаниями:
1. Длина средней линии: $m = \frac{a + b}{2}$
2. Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей: $d = \frac{a - b}{2}$
По условию задачи нам известно, что $m = 17$ см и $d = 2$ см. Мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$\begin{cases} \frac{a + b}{2} = 17 \\ \frac{a - b}{2} = 2 \end{cases}$
Упростим каждое уравнение, умножив обе его части на 2:
$\begin{cases} a + b = 34 \\ a - b = 4 \end{cases}$
Теперь решим эту систему. Сложив первое и второе уравнения, мы можем найти $a$:
$(a + b) + (a - b) = 34 + 4$
$2a = 38$
$a = \frac{38}{2} = 19$ см.
Теперь, зная значение $a$, подставим его в первое уравнение ($a + b = 34$), чтобы найти $b$:
$19 + b = 34$
$b = 34 - 19$
$b = 15$ см.
Таким образом, длины оснований трапеции равны 19 см и 15 см.

Ответ: 15 см и 19 см.