Номер 10.4, страница 77 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.4. a) Отрезок $AB$ расположен по одну сторону от прямой $a$, расстояния от концов отрезка до прямой $a$ равны 5 см и 12 см. Найдите расстояние от середины отрезка $AB$ до прямой $a$.

б) Точки $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях от прямой $a$, расстояния от концов отрезка до прямой $a$ равны 3 см и 17 см. Найдите расстояние от середины отрезка $AB$ до прямой $a$.

а)

Пусть $A'$ и $B'$ — это проекции точек $A$ и $B$ на прямую $a$. Тогда отрезки $AA'$ и $BB'$ являются перпендикулярами к прямой $a$, и их длины равны расстояниям от точек $A$ и $B$ до прямой $a$. По условию, $AA' = 5$ см и $BB' = 12$ см.

Так как точки $A$ и $B$ расположены по одну сторону от прямой $a$, то фигура $AA'B'B$ является прямоугольной трапецией, где $AA'$ и $BB'$ — параллельные основания, а $A'B'$ — одно из оснований, лежащее на прямой $a$.

Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Расстояние от точки $M$ до прямой $a$ — это длина перпендикуляра $MM'$, опущенного из точки $M$ на прямую $a$. Отрезок $MM'$ является средней линией трапеции $AA'B'B$.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Вычислим длину $MM'$: $MM' = \frac{AA' + BB'}{2} = \frac{5 + 12}{2} = \frac{17}{2} = 8,5$ см.

Ответ: 8,5 см.

б)

Поскольку точки $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $a$, отрезок $AB$ пересекает эту прямую. Обозначим точку пересечения отрезка $AB$ с прямой $a$ через $O$.

Опустим перпендикуляры $AA'$ и $BB'$ из точек $A$ и $B$ на прямую $a$. По условию, их длины равны $AA' = 3$ см и $BB' = 17$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle OAA'$ и $\triangle OBB'$. Оба треугольника являются прямоугольными. Углы $\angle AOA'$ и $\angle BOB'$ равны как вертикальные. Следовательно, треугольники $\triangle OAA'$ и $\triangle OBB'$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует соотношение их сторон: $\frac{OA}{OB} = \frac{AA'}{BB'} = \frac{3}{17}$

Пусть $OA = 3k$ и $OB = 17k$ для некоторого положительного коэффициента $k$. Тогда длина всего отрезка $AB = OA + OB = 3k + 17k = 20k$.

Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Тогда $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{20k}{2} = 10k$.

Найдем расстояние от точки $O$ до точки $M$. Точка $M$ лежит на отрезке $OB$, так как $OA = 3k < AM = 10k$. $OM = AM - AO = 10k - 3k = 7k$.

Искомое расстояние от середины отрезка $M$ до прямой $a$ — это длина перпендикуляра $MM'$, опущенного из точки $M$ на прямую $a$. Треугольник $\triangle OMM'$ подобен треугольнику $\triangle OBB'$ (по двум углам).

Из подобия следует соотношение сторон: $\frac{MM'}{BB'} = \frac{OM}{OB}$

Подставим известные значения: $\frac{MM'}{17} = \frac{7k}{17k} = \frac{7}{17}$

Отсюда находим искомое расстояние $MM'$: $MM' = 17 \cdot \frac{7}{17} = 7$ см.

Ответ: 7 см.