Номер 9.4, страница 75 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.4. По данным рисунка 130 найдите $AB$, если:

а) $OM = 10$ см;

б) $OC = 8$ см.

Рис. 129

Рис. 130

а)

Рассмотрим треугольник $ABC$, изображенный на рисунке 130.
По данным рисунка, $∠C = 90°$, следовательно, треугольник $ABC$ является прямоугольным.
Отметки на сторонах показывают, что $CF = FA$ и $CN = NB$. Это означает, что отрезки $BF$ и $AN$ являются медианами треугольника $ABC$.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка $O$ является точкой пересечения медиан $BF$ и $AN$, следовательно, $O$ — центроид треугольника $ABC$.
Отрезок $CM$ также проходит через точку $O$, значит $CM$ — это третья медиана треугольника, проведенная из вершины $C$ к гипотенузе $AB$.
По свойству медиан, точка пересечения делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $CM$ это означает, что $CO:OM = 2:1$.
По условию дано, что $OM = 10$ см.
Используя соотношение, найдем длину отрезка $CO$: $CO = 2 \cdot OM = 2 \cdot 10 = 20$ см.
Теперь найдем длину всей медианы $CM$: $CM = CO + OM = 20 \text{ см} + 10 \text{ см} = 30$ см.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. В нашем случае $CM$ — медиана, проведенная к гипотенузе $AB$.
Следовательно, $CM = \frac{1}{2} AB$.
Отсюда выразим $AB$: $AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 30 = 60$ см.
Ответ: 60 см.

б)

Аналогично рассуждениям в пункте а), треугольник $ABC$ — прямоугольный, а точка $O$ — его центроид.
Медиана $CM$ делится точкой $O$ в отношении $CO:OM = 2:1$.
По условию этого пункта, $OC = 8$ см.
Найдем длину отрезка $OM$: $OM = \frac{1}{2} CO = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
Найдем полную длину медианы $CM$: $CM = CO + OM = 8 \text{ см} + 4 \text{ см} = 12$ см.
Используя свойство медианы, проведенной к гипотенузе ($CM = \frac{1}{2} AB$), найдем длину гипотенузы $AB$.
$AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 12 = 24$ см.
Ответ: 24 см.