Номер 8.9, страница 74 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.9. Сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника равна $16\sqrt{13}$ см. Найдите периметр многоугольника, полученного при последовательном соединении середин сторон исходного четырехугольника.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим длины его диагоналей как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. По условию задачи, сумма длин диагоналей равна:

$d_1 + d_2 = AC + BD = 16\sqrt{13}$ см.

Пусть $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. При последовательном соединении этих точек образуется новый четырехугольник $KLMN$. Требуется найти его периметр $P_{KLMN}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о средней линии треугольника, которая гласит, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен ее половине.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $KL$ является средней линией этого треугольника. Поэтому:

$KL = \frac{1}{2} AC$

2. Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$. Он также является средней линией, поэтому:

$MN = \frac{1}{2} AC$

3. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $NK$ соединяет середины сторон $DA$ и $AB$. Он является средней линией этого треугольника:

$NK = \frac{1}{2} BD$

4. Наконец, в треугольнике $BCD$ отрезок $LM$ является средней линией:

$LM = \frac{1}{2} BD$

Четырехугольник, образованный серединами сторон любого четырехугольника, является параллелограммом (это утверждение известно как теорема Вариньона). Периметр этого параллелограмма $KLMN$ равен сумме длин его сторон:

$P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK$

Подставим найденные выражения для длин сторон:

$P_{KLMN} = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD$

Сгруппируем слагаемые:

$P_{KLMN} = (\frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AC) + (\frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} BD) = AC + BD$

Таким образом, периметр многоугольника, полученного при последовательном соединении середин сторон исходного четырехугольника, равен сумме длин его диагоналей.

Из условия задачи известно, что $AC + BD = 16\sqrt{13}$ см. Следовательно,

$P_{KLMN} = 16\sqrt{13}$ см.

Ответ: $16\sqrt{13}$ см.