Номер 9.3, страница 75 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.3. По данным рисунка 129 найдите длину отрезка $AM$, если:

a) $OM = 6 \text{ см}$;

б) $AO = 8 \text{ см}$.

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть геометрическую конфигурацию, представленную на рисунке 129. Как правило, в таких задачах точка O является центром окружности, а отрезок AM — частью касательной, проведенной из точки A к окружности в точке M.

Ключевое свойство касательной заключается в том, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус OM перпендикулярен отрезку AM, и треугольник OMA является прямоугольным с прямым углом при вершине M ($\angle OMA = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике OMA:

• OM — катет (радиус окружности).
• AM — катет (отрезок касательной).
• AO — гипотенуза (расстояние от центра окружности до точки A).

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $AO^2 = OM^2 + AM^2$

Из этой формулы можно выразить длину искомого отрезка AM: $AM^2 = AO^2 - OM^2$ $AM = \sqrt{AO^2 - OM^2}$

Условие задачи разделено на два пункта, а) и б), каждый из которых предоставляет длину одного из отрезков. Для нахождения AM необходимо использовать данные из обоих пунктов одновременно.

a) OM = 6 см;

Для нахождения AM нам также потребуется длина AO. Воспользуемся данными из пункта б), где указано, что $AO = 8$ см. Подставим оба значения в нашу формулу:

$AM = \sqrt{8^2 - 6^2}$

Выполним вычисления:

$AM = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28}$

Чтобы упростить ответ, разложим подкоренное число на множители: $28 = 4 \cdot 7$.

$AM = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$ см.

Ответ: $2\sqrt{7}$ см.

б) AO = 8 см.

Аналогично, для нахождения AM нам потребуется длина OM. Воспользуемся данными из пункта а), где указано, что $OM = 6$ см. Подставим значения в формулу:

$AM = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28}$

$AM = 2\sqrt{7}$ см.

Как мы видим, результат тот же, так как для решения требуются оба значения.

Ответ: $2\sqrt{7}$ см.