Номер 8.5, страница 73 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.5. а) В треугольнике $\triangle ABC$ $AB = 12$ см, $BC = 8$ см, точка $M$ — середина стороны $AC$. Через точку $M$ проведены прямые, параллельные сторонам $AB$ и $BC$. Определите вид полученного четырехугольника и найдите его периметр.

б) В треугольнике $\triangle ABC$ $AB = 20$ см, точка $T$ — середина стороны $AB$. Через точку $T$ проведены прямые, параллельные сторонам $AC$ и $BC$. Периметр полученного четырехугольника равен $24$ см. Найдите периметр треугольника $\triangle ABC$.

а)

Пусть в треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AC$. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $AB$, которая пересечет сторону $BC$ в точке $K$. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $BC$, которая пересечет сторону $AB$ в точке $N$. Таким образом, мы получили четырехугольник $NBMK$.

Определим вид этого четырехугольника. По построению, прямая $MK$ параллельна стороне $AB$ (а значит, и отрезку $NB$), и прямая $NM$ параллельна стороне $BC$ (а значит, и отрезку $BK$). Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $NBMK$ — параллелограмм.

Теперь найдем его периметр. Рассмотрим отрезок $MK$. Так как $M$ — середина $AC$ и $MK \parallel AB$, то по свойству средней линии треугольника (или по теореме Фалеса), точка $K$ является серединой стороны $BC$. Значит, $MK$ — средняя линия треугольника $ABC$. Длина средней линии равна половине длины параллельной ей стороны:

$MK = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Аналогично, рассмотрим отрезок $NM$. Так как $M$ — середина $AC$ и $NM \parallel BC$, то точка $N$ является серединой стороны $AB$. Значит, $NM$ — также средняя линия треугольника $ABC$. Ее длина равна:

$NM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Периметр параллелограмма $NBMK$ равен удвоенной сумме длин его смежных сторон:

$P_{NBMK} = 2 \cdot (MK + NM) = 2 \cdot (6 + 4) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Ответ: полученный четырехугольник — параллелограмм, его периметр равен 20 см.

б)

Пусть в треугольнике $ABC$ точка $T$ — середина стороны $AB$. Проведем через точку $T$ прямую, параллельную $AC$, которая пересечет сторону $BC$ в точке $P$. Проведем через точку $T$ прямую, параллельную $BC$, которая пересечет сторону $AC$ в точке $Q$. Полученный четырехугольник — $TPCQ$.

Определим вид четырехугольника $TPCQ$. По построению, $TP \parallel AC$, значит $TP \parallel QC$. Также по построению, $TQ \parallel BC$, значит $TQ \parallel PC$. Так как противолежащие стороны четырехугольника попарно параллельны, $TPCQ$ — параллелограмм.

Найдем связь между сторонами параллелограмма и сторонами треугольника. Так как $T$ — середина $AB$ и $TP \parallel AC$, то по свойству средней линии (или теореме Фалеса) $P$ — середина $BC$. Аналогично, так как $T$ — середина $AB$ и $TQ \parallel BC$, то $Q$ — середина $AC$.

Таким образом, отрезки $TQ$ и $TP$ являются средними линиями треугольника $ABC$. Их длины равны:

$TQ = \frac{1}{2} BC$

$TP = \frac{1}{2} AC$

Стороны параллелограмма $TPCQ$ — это $TP$, $PC$, $CQ$ и $QT$. Так как $P$ — середина $BC$, то $PC = \frac{1}{2} BC$. Так как $Q$ — середина $AC$, то $CQ = \frac{1}{2} AC$.

Периметр параллелограмма $P_{TPCQ}$ равен сумме длин его сторон:

$P_{TPCQ} = TP + PC + CQ + QT$

Подставим выражения для длин сторон:

$P_{TPCQ} = (\frac{1}{2} AC) + (\frac{1}{2} BC) + (\frac{1}{2} AC) + (\frac{1}{2} BC) = AC + BC$

По условию, периметр четырехугольника равен 24 см, следовательно:

$AC + BC = 24$ см.

Теперь найдем периметр треугольника $ABC$. Он равен сумме длин всех его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

Нам дано, что $AB = 20$ см, и мы нашли, что $BC + AC = 24$ см. Подставляем эти значения:

$P_{ABC} = 20 + 24 = 44$ см.

Ответ: периметр треугольника $ABC$ равен 44 см.