Номер 8.4, страница 73 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.4. a) Периметр треугольника равен 120 см, а длины сторон на- ходятся в отношении $5 : 12 : 13$. Найдите длины сторон тре- угольника, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника.

б) Периметр треугольника равен 130 см, а его средние ли- нии относятся как $7 : 8 : 11$. Найдите разность длин наи- большей и наименьшей сторон треугольника.

а) Пусть стороны исходного треугольника равны $a, b, c$. По условию, их длины относятся как $5:12:13$. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$, тогда длины сторон можно записать как $a=5x$, $b=12x$ и $c=13x$. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, $P = a+b+c$. Используя данный периметр $P = 120$ см, составим уравнение: $5x + 12x + 13x = 120$. Решив его, получаем $30x = 120$, откуда $x = \frac{120}{30}=4$. Теперь найдем длины сторон исходного треугольника: $a = 5 \cdot 4 = 20$ см, $b = 12 \cdot 4 = 48$ см, $c = 13 \cdot 4 = 52$ см. Новый треугольник, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника, состоит из средних линий. По свойству средней линии, ее длина равна половине длины параллельной ей стороны исходного треугольника. Таким образом, длины сторон нового треугольника равны: $\frac{20}{2} = 10$ см, $\frac{48}{2} = 24$ см, и $\frac{52}{2} = 26$ см.
Ответ: 10 см, 24 см, 26 см.

б) Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Следовательно, отношение длин средних линий треугольника равно отношению длин его сторон. Так как средние линии относятся как $7:8:11$, то и стороны исходного треугольника относятся так же. Обозначим длины сторон как $7x$, $8x$ и $11x$. Периметр треугольника по условию равен $130$ см. Сумма сторон равна периметру: $7x + 8x + 11x = 130$. Упростив, получаем $26x = 130$, откуда коэффициент пропорциональности $x = \frac{130}{26} = 5$. Теперь найдем длины наименьшей и наибольшей сторон. Наименьшая сторона равна $7x = 7 \cdot 5 = 35$ см. Наибольшая сторона равна $11x = 11 \cdot 5 = 55$ см. Разность длин этих сторон составляет $55 - 35 = 20$ см.
Ответ: 20 см.