Номер 11.6, страница 79 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.6. a) Изобразите на координатной плоскости прямоугольную трапецию, три вершины которой имеют координаты $(-2; -1)$, $(9; -1)$, $(3; 6)$. Укажите возможные координаты четвертой вершины и найдите, чему равна высота полученной трапеции, если известно, что средняя линия параллельна оси абсцисс. За единичный отрезок примите две клетки тетради, т. е. $1$ см.

б) Изобразите на координатной плоскости прямоугольную трапецию, три вершины которой имеют координаты $(-7; -3)$, $(-7; 2)$, $(3; 0)$. Укажите возможные координаты четвертой вершины и найдите, чему равна высота полученной трапеции,

если известно, что средняя линия параллельна оси ординат. За единичный отрезок примите две клетки тетради, т. е. $1$ см.

а)

Пусть даны вершины трапеции A(–2; –1), B(9; –1) и C(3; 6). Четвертую вершину обозначим как D(x; y).

По определению, трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.

В условии сказано, что средняя линия трапеции параллельна оси абсцисс (оси Ox). Следовательно, основания трапеции также должны быть параллельны оси Ox. Прямые, параллельные оси Ox, являются горизонтальными, и все точки на таких прямых имеют одинаковую y-координату.

Среди заданных вершин точки A(–2; –1) и B(9; –1) имеют одинаковую y-координату, равную –1. Значит, отрезок AB параллелен оси Ox и является одним из оснований трапеции. Второе основание, на котором лежат вершины C и D, также должно быть параллельно оси Ox. Это означает, что y-координата точки D должна быть такой же, как у точки C, то есть $y_D = 6$. Таким образом, координаты точки D — (x; 6).

Трапеция является прямоугольной, а это значит, что одна из ее боковых сторон (не оснований) перпендикулярна основаниям. Поскольку основания горизонтальны, то боковая сторона должна быть вертикальной. Все точки на вертикальной прямой имеют одинаковую x-координату. Боковыми сторонами могут быть либо AD и BC, либо AC и BD.

Рассмотрим возможные варианты:

1. Боковая сторона AD является вертикальной. В этом случае x-координаты точек A и D должны совпадать. Так как $x_A = -2$, то и $x_D = -2$. Следовательно, координаты четвертой вершины D₁(–2; 6). Получаем прямоугольную трапецию с основаниями AB и DC и боковой стороной AD, перпендикулярной основаниям.
2. Боковая сторона BD является вертикальной. В этом случае x-координаты точек B и D должны совпадать. Так как $x_B = 9$, то и $x_D = 9$. Следовательно, координаты четвертой вершины D₂(9; 6). Получаем прямоугольную трапецию с основаниями AB и CD и боковой стороной BD, перпендикулярной основаниям.

Проверим другие стороны. BC не может быть вертикальной, так как $x_B = 9 \neq x_C = 3$. AC не может быть вертикальной, так как $x_A = -2 \neq x_C = 3$.

Таким образом, существуют два возможных положения для четвертой вершины.

Высота прямоугольной трапеции равна длине ее перпендикулярной боковой стороны. В обоих случаях высота — это расстояние между горизонтальными основаниями, проходящими через $y = -1$ и $y = 6$. $h = |6 - (-1)| = 7$.

Изображение полученных трапеций на координатной плоскости:

Ответ: Возможные координаты четвертой вершины: (–2; 6) или (9; 6). Высота трапеции в обоих случаях равна 7.

б)

Пусть даны вершины трапеции A(–7; –3), B(–7; 2) и C(3; 0). Четвертую вершину обозначим как D(x; y).

В условии сказано, что средняя линия трапеции параллельна оси ординат (оси Oy). Следовательно, основания трапеции также должны быть параллельны оси Oy. Прямые, параллельные оси Oy, являются вертикальными, и все точки на таких прямых имеют одинаковую x-координату.

Среди заданных вершин точки A(–7; –3) и B(–7; 2) имеют одинаковую x-координату, равную –7. Значит, отрезок AB параллелен оси Oy и является одним из оснований трапеции. Второе основание, на котором лежат вершины C и D, также должно быть параллельно оси Oy. Это означает, что x-координата точки D должна быть такой же, как у точки C, то есть $x_D = 3$. Таким образом, координаты точки D — (3; y).

Трапеция является прямоугольной, а это значит, что одна из ее боковых сторон перпендикулярна основаниям. Поскольку основания вертикальны, то боковая сторона должна быть горизонтальной. Все точки на горизонтальной прямой имеют одинаковую y-координату. Боковыми сторонами трапеции могут быть AD и BC, либо AC и BD.

Рассмотрим возможные варианты:

1. Боковая сторона AD является горизонтальной. В этом случае y-координаты точек A и D должны совпадать. Так как $y_A = -3$, то и $y_D = -3$. Следовательно, координаты четвертой вершины D₁(3; –3). Получаем прямоугольную трапецию с основаниями AB и DC и боковой стороной AD, перпендикулярной основаниям.
2. Боковая сторона BD является горизонтальной. В этом случае y-координаты точек B и D должны совпадать. Так как $y_B = 2$, то и $y_D = 2$. Следовательно, координаты четвертой вершины D₂(3; 2). Получаем прямоугольную трапецию с основаниями AB и CD и боковой стороной BD, перпендикулярной основаниям.

Проверим другие стороны. BC не может быть горизонтальной, так как $y_B = 2 \neq y_C = 0$. AC не может быть горизонтальной, так как $y_A = -3 \neq y_C = 0$.

Таким образом, существуют два возможных положения для четвертой вершины.

Высота прямоугольной трапеции равна длине ее перпендикулярной боковой стороны. В обоих случаях высота — это расстояние между вертикальными основаниями, проходящими через $x = -7$ и $x = 3$. $h = |3 - (-7)| = 10$.

Изображение полученных трапеций на координатной плоскости:

Ответ: Возможные координаты четвертой вершины: (3; –3) или (3; 2). Высота трапеции в обоих случаях равна 10.