Номер 11.10, страница 80 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.10. В равнобедренной трапеции $ABCD$ высота $BH = 5,5$ см, точка $H$ принадлежит основанию $AD$. Периметр треугольника $BCD$ равен 27 см, периметр треугольника $ACD$ равен 38 см. Найдите углы трапеции.

Пусть $ABCD$ — данная равнобедренная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. Высота $BH$ проведена к основанию $AD$, $BH = 5,5$ см.

Запишем выражения для периметров треугольников $BCD$ и $ACD$:

$P_{BCD} = BC + CD + BD = 27$ см.

$P_{ACD} = AC + CD + AD = 38$ см.

По свойству равнобедренной трапеции, ее диагонали равны, то есть $AC = BD$. Заменим $BD$ на $AC$ в выражении для периметра треугольника $BCD$:

$BC + CD + AC = 27$ см.

Теперь сравним два выражения для периметров:

$AC + CD + AD = 38$

$AC + CD + BC = 27$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(AC + CD + AD) - (AC + CD + BC) = 38 - 27$

$AD - BC = 11$ см.

В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла к большему основанию, делит это основание на два отрезка. Длина меньшего из них, $AH$, вычисляется по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим найденное значение разности оснований:

$AH = \frac{11}{2} = 5,5$ см.

Рассмотрим треугольник $ABH$. Он является прямоугольным, так как $BH$ — высота и, следовательно, $\angle AHB = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны длины двух катетов:

• $AH = 5,5$ см (как мы только что вычислили).
• $BH = 5,5$ см (по условию задачи).

Поскольку катеты треугольника $ABH$ равны ($AH = BH$), этот треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны и составляют по $45^\circ$. Значит, $\angle BAH = 45^\circ$.

Угол $\angle BAH$ — это угол $\angle A$ трапеции. Таким образом, $\angle A = 45^\circ$.

Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, углы при основаниях равны:

$\angle D = \angle A = 45^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Отсюда находим углы при меньшем основании:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

По свойству равнобедренной трапеции $\angle C = \angle B = 135^\circ$.

Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 135^\circ, 45^\circ$.