Номер 2.12, страница 60 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.12. a) В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Найдите расстояние от точки $O$ до стороны $BC$, если известно, что $\angle B = 150^\circ$ и $CD = 8$ см.

б) В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Найдите длину стороны $AB$, если расстояние от точки $O$ до стороны $AD$ равно 3 см и $\angle A = 30^\circ$.

а)

В параллелограмме $ABCD$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Так как $\angle B = 150^\circ$, то угол $\angle C$, прилежащий к той же стороне $BC$, равен:
$\angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CD = 8$ см.

Расстояние от точки $O$ до стороны $BC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $BC$. Это расстояние равно половине высоты параллелограмма, проведенной к стороне $BC$. Обозначим эту высоту как $h_{BC}$.

Проведем высоту из вершины $D$ на сторону $BC$. Поскольку угол $\angle C = 30^\circ$ острый, высота $DH$ попадет на отрезок $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DHC$ ($\angle DHC = 90^\circ$). В этом треугольнике:
- Гипотенуза $CD = 8$ см.
- Угол $\angle C = 30^\circ$.
- Катет $DH$ является высотой $h_{BC}$ и лежит напротив угла в $30^\circ$.

Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно:
$h_{BC} = DH = \frac{1}{2} \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Точка пересечения диагоналей $O$ делит высоту, соединяющую противоположные стороны, пополам. Таким образом, искомое расстояние от точки $O$ до стороны $BC$ равно:
$\frac{h_{BC}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

б)

Расстояние от точки пересечения диагоналей $O$ до стороны параллелограмма равно половине высоты, проведенной к этой стороне. По условию, расстояние от точки $O$ до стороны $AD$ равно 3 см.

Следовательно, высота параллелограмма $h_{AD}$, проведенная между параллельными сторонами $AD$ и $BC$, в два раза больше этого расстояния:
$h_{AD} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Проведем высоту из вершины $B$ на сторону $AD$. Пусть $BH$ — эта высота. Тогда $BH = h_{AD} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB = 90^\circ$). В нем:
- Угол $\angle A = 30^\circ$ (по условию).
- Катет $BH = 6$ см, и он лежит напротив угла $\angle A$.
- Сторона $AB$ является гипотенузой этого треугольника.

Используя свойство катета, лежащего против угла в $30^\circ$, получаем, что гипотенуза в два раза больше этого катета:
$AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot 6 = 12$ см.
Либо через определение синуса: $\sin(\angle A) = \frac{BH}{AB}$, откуда
$AB = \frac{BH}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{1/2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.