Номер 2.7, страница 59 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.7. Пользуясь данными рисунков 111, а), б), найдите углы параллелограмма $ABCD$.

а) $AM$ — биссектриса $\angle A$

$118^\circ$

б) $BK$ — биссектриса $\angle B$

$122^\circ$

Рис. 111

а)

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Углы $\angle AMC$ и $\angle AMB$ являются смежными, так как они образуют развернутый угол на прямой $BC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle AMB + \angle AMC = 180^\circ$

По данным рисунка, $\angle AMC = 118^\circ$, следовательно:

$\angle AMB = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая $AM$ является секущей для параллельных прямых $BC$ и $AD$.

Углы $\angle DAM$ (или $\angle MAD$) и $\angle AMB$ являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AM$. Следовательно, они равны:

$\angle DAM = \angle AMB = 62^\circ$

По условию, $AM$ — биссектриса угла $\angle A$. Это означает, что она делит угол $\angle A$ на два равных угла.

$\angle A = \angle DAB = 2 \cdot \angle DAM = 2 \cdot 62^\circ = 124^\circ$

В параллелограмме есть следующие свойства углов: противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

Находим остальные углы:

$\angle C = \angle A = 124^\circ$ (как противоположный угол)

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$ (как угол, прилежащий к стороне $AB$)

$\angle D = \angle B = 56^\circ$ (как противоположный угол)

Ответ: $\angle A = 124^\circ, \angle B = 56^\circ, \angle C = 124^\circ, \angle D = 56^\circ$.

б)

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором $BK$ — биссектриса угла $\angle B$.

По свойству параллелограмма, $BC \parallel AD$. Прямая $BK$ является секущей. Внутренние накрест лежащие углы $\angle CBK$ и $\angle BKA$ при этих параллельных прямых и секущей равны:

$\angle CBK = \angle BKA$

Поскольку $BK$ — биссектриса угла $\angle B$, то $\angle ABK = \angle CBK$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle ABK = \angle BKA$. Это значит, что треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $BK$, и его боковые стороны $AB$ и $AK$ равны.

В равнобедренном треугольнике углы при основании должны быть острыми (меньше $90^\circ$). Если принять, что $\angle BKA = 122^\circ$, как показано на рисунке, то и $\angle ABK$ должен быть равен $122^\circ$. Сумма этих двух углов в треугольнике $ABK$ составила бы $122^\circ + 122^\circ = 244^\circ$, что превышает $180^\circ$. Это невозможно. Следовательно, в условии на рисунке допущена ошибка, и угол $\angle BKA$ не может быть равен $122^\circ$.

Наиболее вероятно, что на рисунке под значением $122^\circ$ имелся в виду смежный с ним угол, то есть $\angle BKD = 122^\circ$. Примем это допущение для решения задачи.

Углы $\angle BKA$ и $\angle BKD$ смежные, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle BKA = 180^\circ - \angle BKD = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$

Теперь, используя найденное значение $\angle BKA$, найдем углы параллелограмма. Мы уже установили, что $\angle CBK = \angle BKA$.

$\angle CBK = 58^\circ$

Так как $BK$ — биссектриса, то полный угол $\angle B$ равен удвоенному значению его половины:

$\angle B = 2 \cdot \angle CBK = 2 \cdot 58^\circ = 116^\circ$

Теперь находим остальные углы параллелограмма:

$\angle D = \angle B = 116^\circ$ (противоположные углы равны)

$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$ (сумма прилежащих углов $180^\circ$)

$\angle C = \angle A = 64^\circ$ (противоположные углы равны)

Ответ: $\angle A = 64^\circ, \angle B = 116^\circ, \angle C = 64^\circ, \angle D = 116^\circ$.