Номер 1.12, страница 57 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.12. Найдите периметр многоугольника, если:

а) каждый его внутренний угол равен $140^\circ$ и каждая его сторона равна 12 см;

б) каждый его внешний угол равен $10^\circ$ и каждая его сторона равна 10 см.

а)

Поскольку все внутренние углы и все стороны многоугольника равны, данный многоугольник является правильным. Для нахождения его периметра необходимо знать количество сторон $n$ и длину одной стороны $a$. Периметр $P$ вычисляется по формуле $P = n \cdot a$.

Длина стороны нам дана: $a = 12$ см.

Чтобы найти количество сторон $n$, воспользуемся информацией о внутреннем угле. Внутренний и внешний углы правильного многоугольника в сумме дают $180^\circ$. Найдем величину внешнего угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Так как многоугольник правильный, все его $n$ внешних углов равны. Следовательно, количество сторон можно найти по формуле: $n = \frac{360^\circ}{\beta}$.
Подставим значение нашего внешнего угла:
$n = \frac{360^\circ}{40^\circ} = 9$.

Итак, многоугольник имеет 9 сторон. Теперь мы можем вычислить его периметр:
$P = n \cdot a = 9 \cdot 12 \text{ см} = 108 \text{ см}$.

Ответ: 108 см.

б)

В этом случае многоугольник также является правильным, так как все его внешние углы и все стороны равны. Нам дана величина внешнего угла $\beta = 10^\circ$ и длина стороны $a = 10$ см.

Как и в предыдущем пункте, используем свойство суммы внешних углов выпуклого многоугольника ($360^\circ$) для нахождения количества сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{10^\circ} = 36$.

Многоугольник имеет 36 сторон. Найдем его периметр $P$ по формуле $P = n \cdot a$:
$P = 36 \cdot 10 \text{ см} = 360 \text{ см}$.

Ответ: 360 см.