Номер 1.11, страница 57 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.11. a) У выпуклого многоугольника каждый внешний угол равен $18^\circ$. Найдите количество диагоналей данного многоугольника.

б) У выпуклого многоугольника каждый внешний угол равен $30^\circ$. Найдите сумму внутренних углов многоугольника.

а) Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Поскольку по условию задачи каждый внешний угол равен $18^\circ$, мы можем найти количество сторон $n$ данного многоугольника, разделив общую сумму на величину одного угла.
$n = \frac{360^\circ}{18^\circ} = 20$.
Таким образом, данный многоугольник имеет 20 сторон (это двадцатиугольник).
Количество диагоналей $D$ в многоугольнике с $n$ сторонами вычисляется по формуле:
$D = \frac{n(n-3)}{2}$.
Подставим в формулу найденное значение $n=20$:
$D = \frac{20(20-3)}{2} = \frac{20 \cdot 17}{2} = 10 \cdot 17 = 170$.
Ответ: 170.

б) Сначала, как и в предыдущем пункте, найдем количество сторон многоугольника $n$. Сумма внешних углов равна $360^\circ$, а по условию каждый внешний угол равен $30^\circ$.
$n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$.
Следовательно, у многоугольника 12 сторон (это двенадцатиугольник).
Сумма внутренних углов $S$ выпуклого многоугольника с $n$ сторонами находится по формуле:
$S = (n-2) \cdot 180^\circ$.
Подставим в эту формулу значение $n=12$:
$S = (12-2) \cdot 180^\circ = 10 \cdot 180^\circ = 1800^\circ$.
Ответ: $1800^\circ$.