Номер 2.6, страница 59 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.6. a) В параллелограмме один угол на $42^{\circ}$ меньше другого. Найдите величины всех углов параллелограмма.

б) В параллелограмме один угол на $38^{\circ}$ больше другого. Найдите величины всех углов параллелограмма.

а)

В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Условие, что один угол на $42^\circ$ меньше другого, может относиться только к соседним (прилежащим) углам, так как противолежащие углы равны.

Пусть меньший угол параллелограмма равен $x$. Тогда больший смежный с ним угол равен $x + 42^\circ$.

Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 42^\circ) = 180^\circ$
$2x + 42^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 42^\circ$
$2x = 138^\circ$
$x = \frac{138^\circ}{2}$
$x = 69^\circ$

Итак, меньший угол равен $69^\circ$. Тогда больший угол равен $69^\circ + 42^\circ = 111^\circ$.

Поскольку в параллелограмме противолежащие углы равны, то в нем два угла по $69^\circ$ и два угла по $111^\circ$.

Ответ: $69^\circ, 111^\circ, 69^\circ, 111^\circ$.

б)

Аналогично пункту а), используем свойство о том, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

Пусть меньший угол равен $y$. Тогда больший угол, согласно условию, будет на $38^\circ$ больше и равен $y + 38^\circ$.

Составим и решим уравнение, исходя из того, что сумма этих углов равна $180^\circ$:
$y + (y + 38^\circ) = 180^\circ$
$2y + 38^\circ = 180^\circ$
$2y = 180^\circ - 38^\circ$
$2y = 142^\circ$
$y = \frac{142^\circ}{2}$
$y = 71^\circ$

Мы нашли меньший угол, он равен $71^\circ$. Теперь найдем больший угол: $71^\circ + 38^\circ = 109^\circ$.

Так как противолежащие углы параллелограмма равны, то в нем два угла по $71^\circ$ и два угла по $109^\circ$.

Ответ: $71^\circ, 109^\circ, 71^\circ, 109^\circ$.