Номер 1.2, страница 55 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.2. Какой из многоугольников не может быть невыпуклым: треугольник, четырехугольник, пятиугольник?

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к определению невыпуклого многоугольника. Многоугольник является невыпуклым (или вогнутым), если хотя бы один из его внутренних углов больше $180^\circ$. Если все внутренние углы многоугольника меньше $180^\circ$, он называется выпуклым.

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

треугольник: Сумма внутренних углов любого треугольника строго равна $180^\circ$. Обозначим углы как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Имеем: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. В невырожденном треугольнике каждый угол положителен ($\alpha > 0$, $\beta > 0$, $\gamma > 0$). Из этого следует, что ни один из углов не может быть равен или больше $180^\circ$. Если бы, например, $\alpha \ge 180^\circ$, то для суммы двух других углов оставалось бы $\beta + \gamma \le 0$, что невозможно. Таким образом, любой треугольник всегда является выпуклым и не может быть невыпуклым.

четырехугольник: Сумма внутренних углов четырехугольника равна $(4-2) \cdot 180^\circ = 360^\circ$. Четырехугольник может быть невыпуклым. Для этого достаточно, чтобы один из его внутренних углов был больше $180^\circ$. Примером может служить четырехугольник в форме «стрелы» (дротика), у которого один угол больше $180^\circ$.

пятиугольник: Сумма внутренних углов пятиугольника равна $(5-2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$. Пятиугольник также может быть невыпуклым. Например, если «вдавить» одну из его вершин внутрь, образуется внутренний угол, превышающий $180^\circ$.

Исходя из анализа, единственный многоугольник из перечисленных, который по своему определению не может иметь внутренних углов больше $180^\circ$ и, соответственно, не может быть невыпуклым, — это треугольник.

Ответ: треугольник.