Номер 28.11, страница 53 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.11. Начертите произвольный угол и произвольный луч. С помощью циркуля и линейки от данного луча отложите угол, равный данному.

Для того чтобы отложить от данного луча угол, равный данному, с помощью циркуля и линейки без делений, выполним следующую последовательность действий.

Пусть дан произвольный угол с вершиной в точке $A$ и произвольный луч с началом в точке $O$.

1. Установим острие циркуля в вершину $A$ данного угла и начертим дугу произвольного радиуса $R$, которая пересекает стороны угла в точках $B$ и $C$.

2. Не меняя раствора циркуля (то есть сохраняя радиус $R$), установим острие в начало данного луча, точку $O$, и начертим дугу такого же радиуса. Эта дуга пересечет наш луч в некоторой точке, назовем ее $D$.

3. С помощью циркуля измерим расстояние между точками $B$ и $C$. Для этого установим острие циркуля в точку $B$, а грифель — в точку $C$. Длина этого отрезка $BC$ является хордой дуги, построенной в первом шаге.

4. Сохраняя полученный раствор циркуля (равный длине $BC$), установим острие в точку $D$ на луче и проведем еще одну дугу так, чтобы она пересекла дугу, построенную во втором шаге. Точку пересечения этих двух дуг назовем $E$.

5. С помощью линейки проведем луч из точки $O$ через точку $E$.

Полученный угол $\angle EOD$ равен исходному углу $\angle BAC$.

Доказательство: Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ODE$. По построению, стороны $AB$ и $AC$ равны радиусу $R$. Стороны $OD$ и $OE$ также равны радиусу $R$. Следовательно, $AB = AC = OD = OE = R$. Сторона $BC$ по построению равна стороне $DE$. Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ODE$ равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, то есть $\angle BAC = \angle EOD$.

Ответ:

Угол, равный данному, построен в соответствии с описанным алгоритмом.