Номер 28.7, страница 53 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.7. В треугольнике $ABC$ высоты пересекаются в точке $O$. Постройте этот треугольник по отрезкам $OA$, $BO$, $AB$.

Анализ

Пусть $O$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Ортоцентр — это точка пересечения высот треугольника. Обозначим высоты, проведенные из вершин $A$, $B$ и $C$, как $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ соответственно. По определению высоты, $AA_1 \perp BC$, $BB_1 \perp AC$ и $CC_1 \perp AB$. Поскольку точка $O$ лежит на каждой из высот, то прямая $AO$ содержит высоту $AA_1$, а прямая $BO$ содержит высоту $BB_1$. Из этого следуют ключевые соотношения:

1. Прямая, содержащая сторону $BC$, перпендикулярна прямой $AO$.

2. Прямая, содержащая сторону $AC$, перпендикулярна прямой $BO$.

Нам даны отрезки $OA$, $BO$ и $AB$. Это означает, что мы можем построить треугольник $OAB$ по трем сторонам. После построения этого треугольника мы будем знать взаимное расположение точек $A$, $B$ и $O$. Используя указанные выше свойства перпендикулярности, мы сможем найти положение вершины $C$. Вершина $C$ является точкой пересечения прямой, проходящей через $A$ перпендикулярно $BO$, и прямой, проходящей через $B$ перпендикулярно $AO$.

Построение

1. Строим треугольник $OAB$ по трем заданным отрезкам $OA$, $OB$ и $AB$. Для этого откладываем отрезок $AB$. Затем из точки $A$ проводим окружность радиусом $OA$, а из точки $B$ — окружность радиусом $OB$. Точка их пересечения будет точкой $O$. (Заметим, что таких точек может быть две, симметричных относительно прямой $AB$. Выбор любой из них приведет к построению одного из двух симметричных решений).

2. Проводим прямые через точки $A$ и $O$, и через точки $B$ и $O$.

3. Через точку $A$ строим прямую $l_1$, перпендикулярную прямой $BO$. На этой прямой будет лежать сторона $AC$.

4. Через точку $B$ строим прямую $l_2$, перпендикулярную прямой $AO$. На этой прямой будет лежать сторона $BC$.

5. Точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2$ является искомой вершиной $C$.

6. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Ответ: Описанный выше алгоритм построения является решением задачи.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ по построению лежит на прямой $l_1$, которая перпендикулярна прямой $BO$. Следовательно, прямая $BO$ является высотой, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$. Аналогично, сторона $BC$ по построению лежит на прямой $l_2$, которая перпендикулярна прямой $AO$. Следовательно, прямая $AO$ является высотой, опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$. Поскольку две высоты треугольника $ABC$ (проведенные из вершин $A$ и $B$) пересекаются в точке $O$, то $O$ является ортоцентром этого треугольника. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если возможно построить треугольник $OAB$ по трем заданным отрезкам. Это возможно тогда и только тогда, когда для длин этих отрезков выполняется неравенство треугольника: $OA + OB > AB$ $OA + AB > OB$ $OB + AB > OA$

Если одно из этих неравенств превращается в равенство (например, $OA + OB = AB$), то точки $A$, $B$, $O$ лежат на одной прямой. В этом случае прямые $AO$ и $BO$ совпадают. Перпендикуляры к этой прямой, проведенные через точки $A$ и $B$, будут параллельны, и, следовательно, точка $C$ не будет существовать. Таким образом, для существования решения необходимо, чтобы отрезки $OA$, $OB$, $AB$ образовывали невырожденный треугольник.

При построении точки $O$ на шаге 1, мы получаем две возможные точки ($O$ и $O'$), симметричные относительно прямой $AB$. Каждый выбор точки ведет к своему решению. Два полученных треугольника $ABC$ будут симметричны друг другу относительно прямой $AB$. Таким образом, если задача имеет решение, то она имеет два решения (два треугольника, которые конгруэнтны, но по-разному расположены в плоскости).

Ответ: Задача имеет решение тогда и только тогда, когда отрезки $OA$, $OB$ и $AB$ могут образовать треугольник. В этом случае задача имеет два решения.