Номер 28.1, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.1. Постройте треугольник $ABC$, у которого длины сторон связаны соотношениями $AB = \frac{3}{4}AC$, $BC = \frac{1}{2}AC$.

28.1.

Для построения треугольника $ABC$, у которого стороны связаны соотношениями $AB = \frac{3}{4}AC$ и $BC = \frac{1}{2}AC$, необходимо выполнить последовательность построений с помощью циркуля и линейки без делений.

Анализ и проверка возможности построения

Прежде всего, необходимо убедиться, что такой треугольник существует. Для этого проверим выполнение неравенства треугольника. Пусть длина стороны $AC$ равна некоторой величине $x$. Тогда, согласно условию, $AB = \frac{3}{4}x$ и $BC = \frac{1}{2}x$.

1. Проверяем $AB + BC > AC$:
$\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}x > x \implies \frac{3x + 2x}{4} > x \implies \frac{5}{4}x > x$. Неравенство выполняется, так как $\frac{5}{4} > 1$.

2. Проверяем $AC + BC > AB$:
$x + \frac{1}{2}x > \frac{3}{4}x \implies \frac{3}{2}x > \frac{3}{4}x$. Неравенство выполняется, так как $\frac{3}{2} > \frac{3}{4}$.

3. Проверяем $AC + AB > BC$:
$x + \frac{3}{4}x > \frac{1}{2}x \implies \frac{7}{4}x > \frac{1}{2}x$. Неравенство выполняется, так как $\frac{7}{4} > \frac{1}{2}$.

Так как все три неравенства треугольника выполняются, то такой треугольник существует, и его можно построить.

Алгоритм построения

Шаг 1: Построение отрезков, равных сторонам треугольника.

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую. На ней выбираем точку $A$. С помощью циркуля откладываем от точки $A$ отрезок произвольной длины. Второй конец отрезка обозначаем точкой $C$. Этот отрезок $AC$ будет одной из сторон треугольника.

2. Находим середину отрезка $AC$. Для этого строим его серединный перпендикуляр: проводим две пересекающиеся дуги окружностей с центрами в точках $A$ и $C$ и одинаковым радиусом (большим половины длины $AC$). Через точки пересечения дуг проводим прямую. Точка, в которой эта прямая пересекает отрезок $AC$, является его серединой. Обозначим эту точку $M$. Длина отрезка $MC$ равна $\frac{1}{2}AC$. Это и есть требуемая длина для стороны $BC$.

3. Теперь найдем отрезок длиной $\frac{3}{4}AC$. Для этого нужно разделить пополам отрезок $AM$. Аналогично предыдущему пункту, строим серединный перпендикуляр к отрезку $AM$. Точку его пересечения с отрезком $AM$ обозначим $N$. Отрезок $AN$ имеет длину $\frac{1}{4}AC$.

4. Длина отрезка $NC$ складывается из длин отрезков $NM$ и $MC$. Так как $N$ — середина $AM$, то $NM = AN = \frac{1}{4}AC$. Следовательно, длина $NC = NM + MC = \frac{1}{4}AC + \frac{1}{2}AC = \frac{3}{4}AC$. Это требуемая длина для стороны $AB$.

Шаг 2: Построение треугольника $ABC$ по трем сторонам.

Теперь, когда у нас есть отрезок $AC$ и мы построили отрезки $MC$ и $NC$, равные по длине сторонам $BC$ и $AB$ соответственно, мы можем построить сам треугольник.

1. С центром в точке $A$ проводим дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $NC$ (то есть $\frac{3}{4}AC$).

2. С центром в точке $C$ проводим дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $MC$ (то есть $\frac{1}{2}AC$).

3. Точка пересечения этих двух дуг и будет третьей вершиной нашего треугольника. Обозначим ее $B$.

4. Соединяем точку $B$ с точками $A$ и $C$ с помощью линейки. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Построение выполняется в два основных этапа: сначала выбирается произвольный отрезок $AC$ и путем его последовательного деления пополам получаются отрезки-эталоны для длин сторон $AB$ (равной $\frac{3}{4}AC$) и $BC$ (равной $\frac{1}{2}AC$). Затем, используя эти длины, строится треугольник $ABC$ по трем сторонам с помощью циркуля и линейки.