Номер 28.4, страница 53 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне $b$ и высоте $h$, проведенной к основанию.

Анализ

Пусть искомый равнобедренный треугольник — это $\triangle ABC$ с основанием $BC$. Тогда боковые стороны равны: $AB = AC = b$. Высота, проведенная к основанию, — это отрезок $AD$, где $D$ — точка на $BC$, и $AD = h$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому точка $D$ — середина отрезка $BC$, и $AD \perp BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$. В нем гипотенуза $AB$ равна $b$, а катет $AD$ равен $h$. Второй катет — это $BD$. Построив этот прямоугольный треугольник, мы найдем половину основания. Затем, найдя точку $C$ на прямой, содержащей основание, так, чтобы $D$ была серединой $BC$, мы получим искомый треугольник.

Таким образом, ключевым элементом построения является прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной основания.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $a$. На ней будет лежать основание искомого треугольника.

2. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $D$, которая будет являться основанием высоты.

3. Через точку $D$ проведем прямую $m$, перпендикулярную прямой $a$. На этой прямой будет лежать высота треугольника.

4. На прямой $m$ отложим отрезок $DA$ длиной, равной данной высоте $h$. Точка $A$ — это вершина треугольника, противолежащая основанию.

5. Теперь найдем вершины $B$ и $C$. Они лежат на прямой $a$ и удалены от вершины $A$ на расстояние, равное боковой стороне $b$. С помощью циркуля проведем дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным $b$.

6. Эта дуга пересечет прямую $a$ в двух точках (при условии, что $b > h$, иначе построение невозможно, так как гипотенуза должна быть длиннее катета). Назовем эти точки $B$ и $C$. Это и есть вершины основания треугольника.

7. Соединим точки $A, B$ и $C$ отрезками. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

По построению, отрезок $AD$ имеет длину $h$ и перпендикулярен прямой $a$, на которой лежит отрезок $BC$. Следовательно, $AD$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$, и ее длина равна $h$.

Точки $B$ и $C$ получены как точки пересечения прямой $a$ и окружности с центром в $A$ и радиусом $b$. Следовательно, расстояния от $A$ до $B$ и от $A$ до $C$ равны этому радиусу: $AB = AC = b$.

Так как в треугольнике $ABC$ две стороны равны ($AB = AC$), он является равнобедренным с основанием $BC$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является равнобедренным с боковой стороной $b$ и высотой $h$, проведенной к основанию, что и требовалось доказать.

Ответ: Построение выполняется путем построения высоты $AD$ длиной $h$ перпендикулярно некоторой прямой $a$. Затем из вершины $A$ проводится окружность радиусом $b$, которая в пересечении с прямой $a$ дает две другие вершины треугольника, $B$ и $C$.