Номер 28.8, страница 53 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

28.8. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу, противолежащему основанию.

Для решения задачи нам даны два элемента: отрезок, равный боковой стороне искомого треугольника, и угол, равный углу при его вершине (противолежащему основанию).

Дано:

• Отрезок, длина которого равна $b$ – длине боковой стороны искомого равнобедренного треугольника.

• Угол, величина которого равна $\alpha$ – величине угла, противолежащего основанию искомого треугольника.

Построить:

Равнобедренный треугольник $ABC$ такой, что его боковые стороны $AB$ и $BC$ равны $b$, а угол при вершине $\angle ABC$ равен $\alpha$.

Построение:

1. Выберем на плоскости произвольную точку $B$ и проведем из нее произвольный луч $BM$.

2. Построим от луча $BM$ угол $\angle MBN$, равный данному углу $\alpha$. Точка $B$ будет вершиной этого угла, а лучи $BM$ и $BN$ — его сторонами.

3. С помощью циркуля измерим длину данной боковой стороны $b$.

4. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным $b$.

5. Точки пересечения этой окружности со сторонами угла, лучами $BM$ и $BN$, обозначим $A$ и $C$ соответственно.

6. Соединим точки $A$ и $C$ отрезком. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство:

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

• Стороны $AB$ и $BC$ являются радиусами одной окружности с центром в точке $B$ и радиусом $b$. Следовательно, по построению $AB = BC = b$.

• Поскольку две стороны треугольника $ABC$ равны, то по определению он является равнобедренным.

• Угол $\angle ABC$ между боковыми сторонами $AB$ и $BC$ по построению равен данному углу $\alpha$. Этот угол является углом при вершине, так как он противолежит стороне $AC$ (основанию).

Таким образом, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи. Задача всегда имеет решение при условии, что $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Ответ:

Алгоритм построения треугольника описан в разделе "Построение". Он заключается в последовательном построении угла, равного данному, и откладывании на его сторонах от вершины отрезков, равных данной боковой стороне.