Номер 27.8, страница 52 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

27.8. Постройте отрезок, длина которого равна разности длин данных отрезков $AB$ и $CD$.

Для того чтобы построить отрезок, длина которого равна разности длин данных отрезков $AB$ и $CD$, необходимо использовать циркуль и линейку без делений. Предположим, что отрезок $AB$ длиннее отрезка $CD$, то есть мы будем строить отрезок длиной $|AB| - |CD|$. Если $CD$ длиннее $AB$, действия будут аналогичными, но нужно будет откладывать отрезок $CD$ первым, а из него вычитать $AB$.

Построение выполняется в несколько шагов:

1. Начертим произвольный луч с началом в точке, которую назовем $M$.

2. Возьмем циркуль и измерим им длину большего отрезка, $AB$. Для этого установим ножку циркуля на один конец отрезка (точку $A$), а грифель — на другой (точку $B$).

3. Сохраняя полученный раствор циркуля, поставим его ножку в начало нашего луча, точку $M$, и сделаем на луче засечку. Точку пересечения дуги циркуля с лучом назовем $K$. Таким образом, мы отложили отрезок $MK$, длина которого равна длине отрезка $AB$. То есть, $|MK| = |AB|$.

4. Теперь измерим циркулем длину меньшего отрезка, $CD$. Установим ножку циркуля в точку $C$, а грифель — в точку $D$.

5. Сохраняя этот раствор циркуля, поставим его ножку в точку $K$ (конец отложенного отрезка $MK$) и сделаем засечку на отрезке $MK$, двигаясь в сторону начала луча, точки $M$. Точку пересечения дуги и отрезка $MK$ назовем $N$. Таким образом, мы отложили отрезок $NK$, длина которого равна длине отрезка $CD$. То есть, $|NK| = |CD|$.

Полученный отрезок $MN$ и есть искомый отрезок. Его длина равна разности длин отрезков $AB$ и $CD$.

Доказательство:

Точки $M$, $N$ и $K$ лежат на одном луче, причем по построению точка $N$ находится между точками $M$ и $K$. По свойству измерения отрезков, длина отрезка $MK$ равна сумме длин составляющих его отрезков $MN$ и $NK$:

$|MK| = |MN| + |NK|$

Из нашего построения известно, что $|MK| = |AB|$ и $|NK| = |CD|$. Заменив длины в равенстве, получаем:

$|AB| = |MN| + |CD|$

Отсюда, выражая длину отрезка $MN$, находим:

$|MN| = |AB| - |CD|$

Следовательно, построенный отрезок $MN$ имеет длину, равную разности длин отрезков $AB$ и $CD$.

Ответ: Чтобы построить отрезок, равный разности длин отрезков $AB$ и $CD$ (при условии $|AB| > |CD|$), нужно на произвольном луче с началом в точке $M$ отложить отрезок $MK$, равный $AB$, а затем от точки $K$ в сторону точки $M$ отложить отрезок $NK$, равный $CD$. Полученный отрезок $MN$ будет искомым.