Номер 14.2, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.2. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$ по данным рисунков 141, а), б).

а) $B$ $17$ $C$

$150^\circ$

$8$

$A$ $D$ $H$

б) $H$ $11$

$B$ $C$

$6$

$A$ $D$

Рис. 141

а)

Площадь параллелограмма можно найти несколькими способами. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Через две стороны и угол между ними.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\gamma$ — угол между ними.

Из условия задачи для параллелограмма $ABCD$ имеем:
– сторона $BC = 17$;
– сторона $CD = 8$. Так как в параллелограмме противолежащие стороны равны, то смежная со стороной $BC$ сторона $AB$ равна $CD$, то есть $AB = 8$;
– угол между сторонами $AB$ и $BC$ равен $\angle ABC = 150^\circ$.

Подставляем известные значения в формулу:
$S = AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = 8 \cdot 17 \cdot \sin(150^\circ)$.

Используя формулу приведения, находим синус угла $150^\circ$:
$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Теперь вычисляем площадь:
$S = 8 \cdot 17 \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot 17 = 68$.

Способ 2: Через основание и высоту.

Площадь параллелограмма также равна произведению его основания на высоту: $S = a \cdot h_a$.

Возьмем в качестве основания сторону $AD$. По свойству параллелограмма $AD = BC = 17$.
Высота $CH$ опущена на продолжение стороны $AD$. Найдем ее длину из прямоугольного треугольника $CDH$.
В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому $\angle ADC = \angle ABC = 150^\circ$.
Угол $\angle CDH$ является смежным с углом $\angle ADC$, следовательно, их сумма равна $180^\circ$.
$\angle CDH = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $CDH$ катет $CH$ (высота) лежит напротив угла в $30^\circ$ и равен половине гипотенузы $CD$.
$CH = \frac{1}{2} \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$.

Находим площадь:
$S = AD \cdot CH = 17 \cdot 4 = 68$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 68.

б)

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона (основание), а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

Из данных на рисунке для параллелограмма $ABCD$ имеем:

– В качестве основания выберем сторону $AB$. По свойству параллелограмма противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CD = 6$.
– Высота, проведенная к основанию $AB$, это отрезок $CH$, длина которого по условию равна $11$. То есть $h_{AB} = CH = 11$.

Теперь можем вычислить площадь параллелограмма:

$S = AB \cdot h_{AB} = 6 \cdot 11 = 66$.

Ответ: 66.