Номер 14.7, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.7. a) Найдите площадь ромба, периметр которого равен 24 см, а острый угол — $30^{\circ}$.

б) Найдите периметр ромба, площадь которого равна $128 \text{ см}^2$, а больший угол — $150^{\circ}$.

а)

Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина стороны ромба.
По условию периметр равен 24 см, следовательно, сторона ромба равна:
$a = \frac{P}{4} = \frac{24}{4} = 6$ см.
Площадь ромба $S$ можно найти по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами.
Используя найденную сторону $a = 6$ см и данный острый угол $\alpha = 30^\circ$, вычислим площадь:
$S = 6^2 \cdot \sin(30^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$ см².
Ответ: 18 см².

б)

Сумма соседних углов в ромбе равна $180^\circ$. Если больший угол равен $150^\circ$, то острый угол $\alpha$ равен:
$\alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле $S = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — острый угол.
Из условия известно, что площадь $S = 128$ см². Подставим известные значения в формулу и найдем сторону $a$:
$128 = a^2 \cdot \sin(30^\circ)$
$128 = a^2 \cdot \frac{1}{2}$
$a^2 = 128 \cdot 2 = 256$
$a = \sqrt{256} = 16$ см.
Теперь, зная сторону, найдем периметр ромба $P$ по формуле $P = 4a$:
$P = 4 \cdot 16 = 64$ см.
Ответ: 64 см.