Номер 15.1, страница 87 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.1. Найдите площадь фигуры (рис. 143, а)—е)), если размер одной клетки $1 \times 1$ см.

а) б) в) г) д) е) Рис. 143

а)

Фигура на рисунке а) представляет собой треугольник. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

В данном случае удобно выбрать в качестве основания горизонтальную сторону треугольника. Размер одной клетки — 1 см, поэтому, посчитав клетки, найдем длину основания:

$a = 7$ см.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из верхней вершины на прямую, содержащую основание. Ее длина равна:

$h = 3$ см.

Теперь вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \times 7 \times 3 = \frac{21}{2} = 10,5$ см².

Ответ: 10,5 см².

б)

Фигура на рисунке б) — треугольник. Используем ту же формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ah$.

Основание треугольника лежит на горизонтальной линии сетки. Его длина:

$a = 5$ см.

Высота, проведенная к этому основанию, равна:

$h = 4$ см.

Вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10$ см².

Ответ: 10 см².

в)

Фигура на рисунке в) — прямоугольный треугольник, так как его катеты параллельны линиям сетки. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

Длина горизонтального катета:

$a = 5$ см.

Длина вертикального катета:

$b = 3$ см.

Вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 = \frac{15}{2} = 7,5$ см².

Ответ: 7,5 см².

г)

Фигура на рисунке г) также является прямоугольным треугольником.

Длина горизонтального катета:

$a = 5$ см.

Длина вертикального катета:

$b = 3$ см.

Вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 = \frac{15}{2} = 7,5$ см².

Ответ: 7,5 см².

д)

Фигура на рисунке д) — параллелограмм. Его площадь можно найти, "достроив" фигуру до прямоугольника и вычтя площади лишних частей (прямоугольных треугольников по углам).

Опишем вокруг параллелограмма прямоугольник. Его ширина 5 клеток, а высота 3 клетки.

Площадь этого прямоугольника:

$S_{прям} = 5 \times 3 = 15$ см².

Теперь найдем площади четырех прямоугольных треугольников по углам прямоугольника:

• Левый нижний треугольник: катеты 2 см и 2 см. Площадь $S_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ см².
• Левый верхний треугольник: катеты 3 см и 1 см. Площадь $S_2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = 1,5$ см².
• Правый верхний треугольник: катеты 2 см и 2 см. Площадь $S_3 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ см².
• Правый нижний треугольник: катеты 3 см и 1 см. Площадь $S_4 = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = 1,5$ см².

Площадь параллелограмма равна площади прямоугольника минус сумма площадей этих четырех треугольников:

$S_{пар} = S_{прям} - (S_1 + S_2 + S_3 + S_4) = 15 - (2 + 1,5 + 2 + 1,5) = 15 - 7 = 8$ см².

Ответ: 8 см².

е)

Фигура на рисунке е) — ромб, так как его диагонали взаимно перпендикулярны. Площадь ромба можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей.

Диагонали ромба параллельны линиям сетки.

Длина горизонтальной диагонали:

$d_1 = 4$ см.

Длина вертикальной диагонали:

$d_2 = 4$ см.

Вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ см².

Ответ: 8 см².