Номер 14.4, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.4. а) Длины сторон параллелограмма равны $8 \text{ см}$ и $18 \text{ см}$, один из углов равен $150^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

б) В параллелограмме $ABCD$ проведена высота $BH$, точка $H$ принадлежит отрезку $AD$, причем $BH = 4 \text{ см}$ и $HD = 12 \text{ см}$, $\angle A = 45^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

а) Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ – длины смежных сторон, а $\alpha$ – угол между ними.

По условию, длины сторон параллелограмма равны 8 см и 18 см. Один из углов равен $150^\circ$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, второй угол равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Для вычисления площади можно использовать синус острого угла, так как $\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Подставим известные значения в формулу:

$S = 8 \cdot 18 \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S = 8 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot 18 = 72$ (см²).

Ответ: 72 см².

б) Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию: $S = a \cdot h$.

В параллелограмме $ABCD$ проведена высота $BH$ к основанию $AD$. Следовательно, $S = AD \cdot BH$.

Из условия известно, что высота $BH = 4$ см. Необходимо найти длину основания $AD$.

Точка $H$ лежит на отрезке $AD$, поэтому $AD = AH + HD$. Нам дано, что $HD = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$, так как $BH$ - высота). В этом треугольнике известен угол $\angle A = 45^\circ$ и катет $BH = 4$ см.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому $\angle ABH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку углы при основании $AB$ в треугольнике $\triangle ABH$ равны ($\angle A = \angle ABH = 45^\circ$), этот треугольник является равнобедренным. Значит, его катеты равны: $AH = BH = 4$ см.

Теперь можем найти длину основания $AD$:

$AD = AH + HD = 4$ см $+ 12$ см $= 16$ см.

Наконец, вычислим площадь параллелограмма:

$S = AD \cdot BH = 16 \cdot 4 = 64$ (см²).

Ответ: 64 см².