Номер 14.9, страница 86 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.9. a) Изобразите на координатной плоскости параллелограмм, у которого две стороны параллельны оси ординат и три вершины имеют координаты $(2; 5)$, $(6; 8)$, $(2; -7)$. Найдите площадь полученного параллелограмма.

б) Изобразите на координатной плоскости параллелограмм, две стороны которого параллельны оси абсцисс и три вершины имеют координаты $(-1; 6)$, $(5; 6)$, $(-5; -1)$. Найдите площадь полученного параллелограмма.

а) Даны три вершины параллелограмма: назовем их A(2; 5), B(6; 8) и C(2; –7). По условию, две стороны параллелограмма параллельны оси ординат (оси OY).
Проанализируем координаты вершин. Точки A(2; 5) и C(2; –7) имеют одинаковую абсциссу $x = 2$. Это означает, что отрезок AC лежит на вертикальной прямой $x = 2$ и, следовательно, параллелен оси ординат. Таким образом, AC является одной из сторон параллелограмма.
Примем эту сторону AC за основание параллелограмма. Длина основания, обозначим ее `a`, равна расстоянию между точками A и C. Так как они лежат на одной вертикальной прямой, расстояние равно модулю разности их ординат:
$a = |y_A - y_C| = |5 - (-7)| = |5 + 7| = 12$.
Противоположная сторона параллелограмма также должна быть параллельна оси ординат. Она должна проходить через третью известную вершину B(6; 8). Следовательно, эта сторона лежит на прямой $x = 6$.
Высота параллелограмма `h` — это перпендикулярное расстояние между двумя параллельными сторонами, которые лежат на прямых $x = 2$ и $x = 6$. Расстояние между этими прямыми равно модулю разности их абсцисс:
$h = |6 - 2| = 4$.
Площадь параллелограмма `S` вычисляется по формуле "основание умножить на высоту":
$S = a \cdot h$
$S = 12 \cdot 4 = 48$.
Для того чтобы изобразить параллелограмм, нужно найти координаты четвертой вершины D(x; y). Мы знаем, что она лежит на прямой $x=6$. Пусть вершины параллелограмма расположены в порядке A, C, D, B. Тогда стороны AC и BD параллельны, и стороны AB и CD также должны быть параллельны.
Найдем наклон стороны AB: $k_{AB} = \frac{8-5}{6-2} = \frac{3}{4}$.
Наклон стороны CD должен быть таким же: $k_{CD} = \frac{y - (-7)}{6 - 2} = \frac{y+7}{4}$.
Приравнивая наклоны, получаем: $\frac{y+7}{4} = \frac{3}{4}$, откуда $y+7 = 3$, и $y = -4$.
Таким образом, координаты четвертой вершины D(6; –4). Вершины параллелограмма: (2; 5), (6; 8), (2; –7) и (6; –4).
Ответ: 48.

б) Даны три вершины параллелограмма: назовем их A(–1; 6), B(5; 6) и C(–5; –1). По условию, две стороны параллелограмма параллельны оси абсцисс (оси OX).
Проанализируем координаты вершин. Точки A(–1; 6) и B(5; 6) имеют одинаковую ординату $y = 6$. Это означает, что отрезок AB лежит на горизонтальной прямой $y = 6$ и, следовательно, параллелен оси абсцисс. Этот отрезок является одной из сторон параллелограмма.
Примем сторону AB за основание параллелограмма. Длина основания `a` равна расстоянию между точками A и B. Так как они лежат на одной горизонтальной прямой, расстояние равно модулю разности их абсцисс:
$a = |x_B - x_A| = |5 - (-1)| = |5 + 1| = 6$.
Противоположная сторона параллелограмма также должна быть параллельна оси абсцисс. Она должна проходить через третью известную вершину C(–5; –1). Следовательно, эта сторона лежит на прямой $y = -1$.
Высота параллелограмма `h` — это перпендикулярное расстояние между двумя параллельными сторонами, которые лежат на прямых $y = 6$ и $y = -1$. Расстояние между этими прямыми равно модулю разности их ординат:
$h = |6 - (-1)| = |6 + 1| = 7$.
Площадь параллелограмма `S` вычисляется по формуле:
$S = a \cdot h$
$S = 6 \cdot 7 = 42$.
Для того чтобы изобразить параллелограмм, найдем координаты четвертой вершины D(x; y). Мы знаем, что она лежит на прямой $y=-1$. Пусть параллелограмм будет ABDC. В этом случае вектор $\vec{AC}$ должен быть равен вектору $\vec{BD}$.
Найдем вектор $\vec{AC} = (-5 - (-1); -1 - 6) = (-4; -7)$.
Найдем вектор $\vec{BD} = (x - 5; -1 - 6) = (x - 5; -7)$.
Приравнивая компоненты векторов, получаем: $x - 5 = -4$, откуда $x = 1$.
Таким образом, координаты четвертой вершины D(1; –1). Вершины параллелограмма: (–1; 6), (5; 6), (–5; –1) и (1; –1).
Ответ: 42.