Номер 14.5, страница 85 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.5. a) В параллелограмме $ABCD$ проведена высота $BH$, точка $H$ принадлежит отрезку $AD$, причем $AH = 4$ см и $HD = 5$ см. Площадь параллелограмма равна $36$ см$^2$. Найдите разность градусных мер большего и меньшего углов параллелограмма.

б) Площадь параллелограмма равна $90$ см$^2$, а стороны — $20$ см и $9$ см. Найдите разность градусных мер большего и меньшего углов параллелограмма.

а)

1. Найдем длину основания AD параллелограмма. Так как точка H лежит на отрезке AD, то длина AD равна сумме длин отрезков AH и HD.

$AD = AH + HD = 4 \text{ см} + 5 \text{ см} = 9 \text{ см}$.

2. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = \text{основание} \times \text{высота}$. В данном случае основанием является сторона AD, а высотой — BH. Мы знаем площадь $S = 36 \text{ см}^2$ и длину основания $AD = 9 \text{ см}$. Найдем высоту BH.

$S = AD \cdot BH$

$36 = 9 \cdot BH$

$BH = \frac{36}{9} = 4 \text{ см}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$, так как BH — высота). Мы нашли, что катет $BH = 4 \text{ см}$, и по условию катет $AH = 4 \text{ см}$.

Поскольку катеты треугольника $\triangle ABH$ равны ($AH = BH$), он является равнобедренным прямоугольным треугольником. В таком треугольнике острые углы равны по $45^\circ$. Угол $\angle A$ параллелограмма совпадает с углом $\angle BAH$ треугольника, следовательно, $\angle A = 45^\circ$. Это меньший угол параллелограмма.

4. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Найдем больший угол параллелограмма (например, $\angle B$).

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

5. Найдем разность градусных мер большего и меньшего углов.

$135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б)

1. Для нахождения углов параллелограмма воспользуемся формулой площади через две стороны и угол между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон, а $\alpha$ — угол между ними.

2. По условию задачи, площадь $S = 90 \text{ см}^2$, а стороны $a = 20 \text{ см}$ и $b = 9 \text{ см}$. Подставим эти значения в формулу:

$90 = 20 \cdot 9 \cdot \sin(\alpha)$

$90 = 180 \cdot \sin(\alpha)$

3. Выразим из этого уравнения $\sin(\alpha)$:

$\sin(\alpha) = \frac{90}{180} = \frac{1}{2}$

4. Уравнение $\sin(\alpha) = 1/2$ имеет два решения для угла параллелограмма (угол в параллелограмме может быть от $0^\circ$ до $180^\circ$):

• Меньший (острый) угол: $\alpha_1 = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$.
• Больший (тупой) угол: $\alpha_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Таким образом, углы параллелограмма равны $30^\circ$ и $150^\circ$.

5. Найдем разность градусных мер большего и меньшего углов.

$150^\circ - 30^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.