Номер 13.9, страница 84 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.9. a) Прямоугольник площадью $48 \text{ см}^2$ составлен из равных квадратов площадью $4 \text{ см}^2$ каждый. Найдите периметр прямоугольника, рассмотрите все возможные случаи.

б) Прямоугольник площадью $64 \text{ см}^2$ составлен из равных квадратов периметром $8 \text{ см}$ каждый. Найдите периметр прямоугольника, рассмотрите все возможные случаи.

а)

1. Сначала найдем, из скольких равных квадратов состоит прямоугольник. Для этого общую площадь прямоугольника разделим на площадь одного квадрата.

Количество квадратов: $N = \frac{S_{прямоугольника}}{S_{квадрата}} = \frac{48 \text{ см}^2}{4 \text{ см}^2} = 12$ штук.

2. Теперь найдем длину стороны одного такого квадрата. Площадь квадрата ($S$) связана с его стороной ($a$) формулой $S = a^2$.

Сторона квадрата: $a = \sqrt{S_{квадрата}} = \sqrt{4 \text{ см}^2} = 2$ см.

3. Прямоугольник составлен из 12 квадратов со стороной 2 см. Эти квадраты можно уложить в виде прямоугольника несколькими способами. Способы укладки соответствуют парам целых чисел, произведение которых равно 12. Это определяет, сколько квадратов будет по длине и ширине большого прямоугольника.

Возможные варианты укладки (ряды × столбцы):

• $1 \times 12$
• $2 \times 6$
• $3 \times 4$

4. Для каждого варианта укладки рассчитаем размеры (длину $L$ и ширину $W$) и периметр ($P = 2(L+W)$) итогового прямоугольника.

Случай 1: Укладка $1 \times 12$ квадратов.

Длина прямоугольника: $L = 12 \times 2 \text{ см} = 24$ см.

Ширина прямоугольника: $W = 1 \times 2 \text{ см} = 2$ см.

Периметр: $P_1 = 2 \times (24 \text{ см} + 2 \text{ см}) = 2 \times 26 \text{ см} = 52$ см.

Случай 2: Укладка $2 \times 6$ квадратов.

Длина прямоугольника: $L = 6 \times 2 \text{ см} = 12$ см.

Ширина прямоугольника: $W = 2 \times 2 \text{ см} = 4$ см.

Периметр: $P_2 = 2 \times (12 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \times 16 \text{ см} = 32$ см.

Случай 3: Укладка $3 \times 4$ квадратов.

Длина прямоугольника: $L = 4 \times 2 \text{ см} = 8$ см.

Ширина прямоугольника: $W = 3 \times 2 \text{ см} = 6$ см.

Периметр: $P_3 = 2 \times (8 \text{ см} + 6 \text{ см}) = 2 \times 14 \text{ см} = 28$ см.

Ответ: 52 см, 32 см, 28 см.

б)

1. Сначала найдем сторону одного квадрата по его периметру. Периметр квадрата ($P$) связан с его стороной ($a$) формулой $P = 4a$.

Сторона квадрата: $a = \frac{P_{квадрата}}{4} = \frac{8 \text{ см}}{4} = 2$ см.

2. Теперь найдем площадь одного квадрата.

Площадь квадрата: $S_{квадрата} = a^2 = (2 \text{ см})^2 = 4 \text{ см}^2$.

3. Найдем, из скольких квадратов состоит большой прямоугольник, разделив его площадь на площадь одного квадрата.

Количество квадратов: $N = \frac{S_{прямоугольника}}{S_{квадрата}} = \frac{64 \text{ см}^2}{4 \text{ см}^2} = 16$ штук.

4. Прямоугольник составлен из 16 квадратов со стороной 2 см. Найдем все возможные способы укладки 16 квадратов в прямоугольную форму. Это пары множителей числа 16.

Возможные варианты укладки (ряды × столбцы):

• $1 \times 16$
• $2 \times 8$
• $4 \times 4$ (в этом случае получается большой квадрат, который является частным случаем прямоугольника)

5. Для каждого варианта укладки рассчитаем размеры и периметр итогового прямоугольника.

Случай 1: Укладка $1 \times 16$ квадратов.

Длина прямоугольника: $L = 16 \times 2 \text{ см} = 32$ см.

Ширина прямоугольника: $W = 1 \times 2 \text{ см} = 2$ см.

Периметр: $P_1 = 2 \times (32 \text{ см} + 2 \text{ см}) = 2 \times 34 \text{ см} = 68$ см.

Случай 2: Укладка $2 \times 8$ квадратов.

Длина прямоугольника: $L = 8 \times 2 \text{ см} = 16$ см.

Ширина прямоугольника: $W = 2 \times 2 \text{ см} = 4$ см.

Периметр: $P_2 = 2 \times (16 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \times 20 \text{ см} = 40$ см.

Случай 3: Укладка $4 \times 4$ квадратов.

Длина прямоугольника: $L = 4 \times 2 \text{ см} = 8$ см.

Ширина прямоугольника: $W = 4 \times 2 \text{ см} = 8$ см.

Периметр: $P_3 = 2 \times (8 \text{ см} + 8 \text{ см}) = 2 \times 16 \text{ см} = 32$ см.

Ответ: 68 см, 40 см, 32 см.