Номер 15.3, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.3. По данным рисунков 144, а), б) найдите площадь треугольника $ABC$.

а) $A$, $B$, $C$, $H$

$2$, $4$, $45^\circ$

б) $A$, $B$, $C$, $H$

$7$, $2$, $45^\circ$

Рис. 144

а)

Для нахождения площади треугольника $ABC$ воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – сторона треугольника, а $h$ – высота, проведенная к этой стороне. В нашем случае за основание $a$ примем сторону $AC$, а за высоту $h$ – отрезок $BH$, так как по условию $BH$ перпендикулярен $AC$.

1. Найдем длину основания $AC$. Она равна сумме длин отрезков $AH$ и $HC$:
$AC = AH + HC = 2 + 4 = 6$.

2. Найдем длину высоты $BH$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$). По условию, угол $\angle C = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle HBC$ будет равен:
$\angle HBC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Поскольку углы при основании $BC$ треугольника $BHC$ равны ($\angle C = \angle HBC = 45^\circ$), этот треугольник является равнобедренным. Это означает, что катеты $BH$ и $HC$ равны: $BH = HC$. Так как по условию $HC = 4$, то и $BH = 4$.

3. Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

Ответ: 12

б)

Площадь треугольника $ABC$ также находим по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.

1. Найдем длину основания $AC$, которая состоит из отрезков $AH$ и $HC$:
$AC = AH + HC = 7 + 2 = 9$.

2. Найдем длину высоты $BH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle BHA = 90^\circ$). По условию, угол $\angle A = 45^\circ$. Найдем угол $\angle ABH$ из суммы углов треугольника:
$\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Поскольку углы при основании $AB$ треугольника $ABH$ равны ($\angle A = \angle ABH = 45^\circ$), он является равнобедренным. Следовательно, его катеты $BH$ и $AH$ равны: $BH = AH$. Так как по условию $AH = 7$, то и $BH = 7$.

3. Вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 7 = \frac{63}{2} = 31,5$.

Ответ: 31,5