Номер 15.4, страница 88 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.4. a) На рисунке 145 изображен выпуклый четырехугольник $MNEF$, у которого стороны $MN = NE$, $MF = FE$, диагонали взаимно перпендикулярны, $O$ — точка пересечения диагоналей, $MO = 5$ см, $NO = 2$ см, $\angle MEF = 45^\circ$. Найдите площадь четырехугольника $MNEF$.

б) На рисунке 146 изображен выпуклый четырехугольник $KLMN$, у которого стороны $KL = LM$, $MN = KN$, диагонали взаимно перпендикулярны, $O$ — точка пересечения диагоналей, $MO = 4$ см, $LO = 2$ см, $\angle MKN = 45^\circ$. Найдите площадь четырехугольника $KLMN$.

Рис. 145

Рис. 146

a)

1. Рассмотрим выпуклый четырехугольник MNEF. По условию, у него есть две пары равных смежных сторон: $MN = NE$ и $MF = FE$. Такой четырехугольник является дельтоидом. Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны, что также дано в условии ($ME \perp NF$). O — точка их пересечения.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta MNO$ и $\Delta ENO$ (прямые углы при вершине O). У них общий катет $NO$, а гипотенузы $MN$ и $NE$ равны по условию. Применим теорему Пифагора:
$MN^2 = MO^2 + NO^2$
$NE^2 = OE^2 + NO^2$
Так как $MN = NE$, то $MN^2 = NE^2$, а значит $MO^2 + NO^2 = OE^2 + NO^2$. Отсюда следует, что $MO^2 = OE^2$. Поскольку длины отрезков являются положительными величинами, $MO = OE$.
По условию $MO = 5$ см, следовательно, $OE = 5$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta OEF$ (угол O — прямой). Условие $\angle MEF = 45^\circ$ в контексте фигур, образованных пересечением диагоналей, будем интерпретировать как относящееся к углу этого треугольника, т.е. $\angle OEF = 45^\circ$.

4. В прямоугольном треугольнике $\Delta OEF$ один из острых углов равен $45^\circ$, следовательно, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $OF = OE$.
Так как $OE = 5$ см, то и $OF = 5$ см.

5. Теперь мы можем найти длины диагоналей четырехугольника MNEF:
Диагональ $ME = MO + OE = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} = 10$ см.
Диагональ $NF = NO + OF = 2 \text{ см} + 5 \text{ см} = 7$ см.

6. Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
$S_{MNEF} = \frac{1}{2} \cdot ME \cdot NF = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 = 35$ см².

Ответ: 35 см².

б)

1. Рассмотрим выпуклый четырехугольник KLMN. По условию, у него есть две пары равных смежных сторон: $KL = LM$ и $MN = KN$. Такой четырехугольник является дельтоидом. Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны, что также дано в условии ($KM \perp LN$). O — точка их пересечения.

2. В дельтоиде KLMN равные стороны сходятся в вершинах L ($KL = LM$) и N ($MN = KN$). Диагональ, соединяющая эти вершины, $LN$, является осью симметрии. Ось симметрии дельтоида является серединным перпендикуляром к другой диагонали. Следовательно, диагональ $LN$ перпендикулярна диагонали $KM$ и делит ее пополам в точке O. Таким образом, $KO = OM$.
По условию $MO = 4$ см, следовательно, $KO = 4$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta KON$ (угол O — прямой). По условию дан угол $\angle MKN = 45^\circ$. Так как точка O лежит на отрезке KM, то $\angle OKN = \angle MKN = 45^\circ$.

4. В прямоугольном треугольнике $\Delta KON$ один из острых углов равен $45^\circ$, следовательно, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $ON = KO$.
Так как $KO = 4$ см, то и $ON = 4$ см.

5. Теперь мы можем найти длины диагоналей четырехугольника KLMN:
Диагональ $KM = KO + OM = 4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8$ см.
Диагональ $LN = LO + ON = 2 \text{ см} + 4 \text{ см} = 6$ см.

6. Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
$S_{KLMN} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot LN = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см².

Ответ: 24 см².